Найти наименьшее значение функции на интервале

Определение предмета и раздела

Ход решения

Нам дано выражение для функции: \[ y = 3^{-|x|} \]

Задано найти наименьшее значение этой функции на интервале \([-2; 1]\).

1. Простая запись функции

Функция представлена как экспоненциальная функция со степенью \(-|x|\), где \( |x| \) — модуль переменной \( x \). Рассмотрим, как ведет себя функция при разных значениях \( x \) на интервале \([-2; 1]\).

\[ y = 3^{-|x|} \]

2. Поведение функции

Прежде всего, отметим, что экспоненциальная функция \( 3^{-|x|} \) всегда принимает положительные значения, поскольку основа экспоненты (3) больше 1. Также заметим, что модуль \( |x| \) — это неотрицательное число, то есть:

\[ y = 3^{- |x|} = \frac{1}{3^{|x|}} \]

Модуль \( |x| \) означает, что в зависимости от того, положителен \( x \) или отрицателен, мы всегда берем его положительное значение. Поэтому можем сразу дополнительно упростить анализ:

\[ y = \frac{1}{3^{|x|}} \]

3. Исследуем функцию на интервале

Функция зависит от \( |x| \), что показывает, некоторое симметричное поведение относительно \( x = 0 \). Нужно исследовать поведение функции на интервале \([-2; 1]\).

Значение функции в граничных точках и в нуле:

• При \( x = -2 \): \[ y = \frac{1}{3^{|-2|}} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \]
• При \( x = 0 \): \[ y = \frac{1}{3^{|0|}} = \frac{1}{3^0} = 1 \]
• При \( x = 1 \): \[ y = \frac{1}{3^{|1|}} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3} \]

Результаты:

• В точке \( x = -2 \), значение функции: \( \frac{1}{9} \).
• В точке \( x = 0 \), значение функции: 1.
• В точке \( x = 1 \), значение функции: \( \frac{1}{3} \).

4. Нахождение наименьшего значения

Из всех значений: \[ 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9} \] наименьшее значение функции на интервале \([-2; 1]\) — это \(\frac{1}{9}\), которое достигается в точке \( x = -2 \).

Ответ:

Наименьшее значение функции \( y = 3^{-|x|} \) на интервале \([-2; 1]\) равно \(\frac{1}{9}\) .

Это задание относится к математике, а именно к разделу исследования функций и нахождению наименьших значений.