Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Предмет: Математика

Раздел: Исследование функций, экстремумы, построение графиков

Рассмотрим первое задание:
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
y = 2\sqrt{x} - x
на отрезке [0; 4].

Решение:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо:

1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки, приравняв производную к нулю.
3. Вычислить значение функции в критических точках и на концах отрезка.
4. Выбрать наибольшее и наименьшее значения.

Шаг 1: Найдём производную функции

Функция:
y = 2\sqrt{x} - x

Запишем производную:
y' = \frac{d}{dx} \left( 2\sqrt{x} - x \right)

Используем производную корня:
\frac{d}{dx} \sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Тогда:
y' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1 = \frac{1}{\sqrt{x}} - 1

Шаг 2: Найдём критические точки

Приравняем производную к нулю:
\frac{1}{\sqrt{x}} - 1 = 0

Решаем уравнение:
\frac{1}{\sqrt{x}} = 1
\sqrt{x} = 1
x = 1

Шаг 3: Вычислим значения функции

Вычисляем y(x) в точках x = 0, x = 1, x = 4.

• При x = 0:
  y(0) = 2\sqrt{0} - 0 = 0
• При x = 1:
  y(1) = 2\sqrt{1} - 1 = 2 - 1 = 1
• При x = 4:
  y(4) = 2\sqrt{4} - 4 = 2 \cdot 2 - 4 = 4 - 4 = 0

Шаг 4: Определяем наибольшее и наименьшее значения

Найденные значения:
y(0) = 0,
y(1) = 1,
y(4) = 0.

• Наибольшее значение: y_{\max} = 1 при x = 1.
• Наименьшее значение: y_{\min} = 0 при x = 0 и x = 4.

Ответ:

Наибольшее значение: 1 (при x = 1).
Наименьшее значение: 0 (при x = 0 и x = 4).