Найти наибольшее и наименьшее значения функции

Предмет: Математика

Раздел: Исследование функций

Нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения функции

y = x^2 + \frac{16}{x} - 16

на отрезке [1, 4]. Для этого последовательно выполним следующие шаги:

Шаг 1: Найдём производную функции

Выпишем функцию:

y = x^2 + \frac{16}{x} - 16.

Найдём её производную:

y' = \frac{d}{dx}\left(x^2\right) + \frac{d}{dx}\left(\frac{16}{x}\right) - \frac{d}{dx}(16).

Вычислим каждую часть производной:

• \frac{d}{dx}(x^2) = 2x,
• \frac{d}{dx}\left(\frac{16}{x}\right) = -\frac{16}{x^2},
• \frac{d}{dx}(16) = 0.

Итак, производная функции:

y' = 2x - \frac{16}{x^2}.

Шаг 2: Найдём критические точки

Критические точки находятся из условия y' = 0:

2x - \frac{16}{x^2} = 0.

Перенесём второй член вправо:

2x = \frac{16}{x^2}.

Умножим обе части на x^2 (при x \neq 0):

2x^3 = 16.

Разделим на 2:

x^3 = 8.

Извлечём корень кубический:

x = 2.

Шаг 3: Проверим значения на концах отрезка и в критической точке

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [1, 4] нужно вычислить значения функции в точках x = 1, x = 2 и x = 4.

1. Вычислим значение функции в точке x = 1:

y(1) = 1^2 + \frac{16}{1} - 16 = 1 + 16 - 16 = 1.

2. Вычислим значение функции в точке x = 2:

y(2) = 2^2 + \frac{16}{2} - 16 = 4 + 8 - 16 = -4.

3. Вычислим значение функции в точке x = 4:

y(4) = 4^2 + \frac{16}{4} - 16 = 16 + 4 - 16 = 4.

Шаг 4: Сравним значения

• y(1) = 1,
• y(2) = -4,
• y(4) = 4.

Наименьшее значение: -4 (в точке x = 2).
Наибольшее значение: 4 (в точке x = 4).

Ответ:

Наименьшее значение функции: -4.
Наибольшее значение функции: 4.