Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Предмет: Математика

Раздел: Исследование функций и нахождение экстремумов

Нам дана функция:
y = \sqrt[3]{2(x - 2)^2(8 - x)} - 1.

Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0, 6].

Шаг 1. Область определения функции

Функция содержит подкоренное выражение (x - 2)^2(8 - x), которое должно быть неотрицательным, так как оно находится под кубическим корнем.

• Для (x - 2)^2 \geq 0 всегда выполняется.
• Для 8 - x \geq 0 получаем x \leq 8.

Таким образом, область определения функции на отрезке [0, 6] совпадает с самим отрезком.

Шаг 2. Находим производную функции

Функция записана как
y = \sqrt[3]{2(x - 2)^2(8 - x)} - 1.

Обозначим подкоренное выражение:
z = 2(x - 2)^2(8 - x).

Тогда y = z^{1/3} - 1.
Продифференцируем:
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}z^{-2/3} \cdot \frac{dz}{dx}.

Теперь найдем \frac{dz}{dx}:
z = 2(x - 2)^2(8 - x),
\frac{dz}{dx} = 2 \cdot \left[ 2(x - 2)(8 - x) + (x - 2)^2(-1) \right].

Упростим:
\frac{dz}{dx} = 2 \left[ 2(x - 2)(8 - x) - (x - 2)^2 \right],
\frac{dz}{dx} = 2(x - 2) \left[ 2(8 - x) - (x - 2) \right],
\frac{dz}{dx} = 2(x - 2) \left[ 16 - 2x - x + 2 \right],
\frac{dz}{dx} = 2(x - 2)(18 - 3x).

Таким образом,
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{z^2}} \cdot 2(x - 2)(18 - 3x).

Шаг 3. Находим критические точки

Критические точки находятся при \frac{dy}{dx} = 0. Это возможно, если:

1. z = 0, то есть 2(x - 2)^2(8 - x) = 0.
   Решаем:

   • (x - 2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2,
   • 8 - x = 0 \Rightarrow x = 8.
     Но x = 8 не принадлежит отрезку [0, 6].
     Значит, x = 2.

2. 2(x - 2)(18 - 3x) = 0, то есть:

   • x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2,
   • 18 - 3x = 0 \Rightarrow x = 6.

Итак, критические точки: x = 2 и x = 6.

Шаг 4. Значения функции в критических точках и на границах

Вычислим значения функции в точках x = 0, x = 2, x = 6:

1. При x = 0:
   y = \sqrt[3]{2(0 - 2)^2(8 - 0)} - 1 = \sqrt[3]{2 \cdot 4 \cdot 8} - 1 = \sqrt[3]{64} - 1 = 4 - 1 = 3.

2. При x = 2:
   y = \sqrt[3]{2(2 - 2)^2(8 - 2)} - 1 = \sqrt[3]{0} - 1 = -1.

3. При x = 6:
   y = \sqrt[3]{2(6 - 2)^2(8 - 6)} - 1 = \sqrt[3]{2 \cdot 16 \cdot 2} - 1 = \sqrt[3]{64} - 1 = 4 - 1 = 3.

Шаг 5. Ответ

• Наименьшее значение функции: y = -1 при x = 2.
• Наибольшее значение функции: y = 3 при x = 0 и x = 6.