Нахождение наибольшего значения функционала в определённом интервале

Предмет: математика

Раздел: исследование функций, основная цель — нахождение наибольшего значения функционала в определённом интервале.

Дана функция: \[ y = 2 - 5\sin{x} \]

Мы должны найти наибольшее значение функции на интервале \[ x \in \left[0; \frac{3\pi}{2}\right] \].

Шаг 1: Определение свойств функции

Функция имеет вид \( y = 2 - 5\sin{x} \), где \( \sin{x} \) — периодическая функция с максимумом \( 1 \) и минимумом \( -1 \) на интервале \( x \in [0; 2\pi] \).

Шаг 2: Нахождение пределов синуса на данном интервале

На интервале \( x \in [0; \frac{3\pi}{2}] \), функция \( \sin{x} \) достигает значений от \( -1 \) до \( 1 \).

• Максимум \( \sin{x} = 1 \) в точке \( x = \frac{\pi}{2} \).
• Минимум \( \sin{x} = -1 \) в точке \( x = \frac{3\pi}{2} \).

Шаг 3: Исследование функции \( y = 2 - 5\sin{x} \)

1. Когда \( \sin{x} = 1 \), наибольшее значение функции \( y \): \[ y = 2 - 5(1) = 2 - 5 = -3. \]
2. Когда \( \sin{x} = -1 \), наименьшее значение функции \( y \): \[ y = 2 - 5(-1) = 2 + 5 = 7. \]

Шаг 4: Ответ

На интервале \( [0; \frac{3\pi}{2}] \) наибольшее значение функции \( y = 7 \) в точке \( x = \frac{3\pi}{2} \).

Ответ: наибольшее значение функции равно \( 7 \).