Исследовать свойства функции и построить график. y=(x^3+2)/(x^2)

Условие:

Исследовать свойства функции и построить график. y=(x^3+2)/(x^2)

Решение:

Предмет: Математика
Раздел: Анализ функций (исследование функций)

Дана функция:
y = \frac{x^3 + 2}{x^2}


Шаг 1. Область определения функции

Функция определена при всех значениях x, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю.
Знаменатель: x^2 = 0 \Rightarrow x = 0
Значит, область определения:
D = \mathbb{R} \setminus \{0\}


Шаг 2. Преобразование функции

Разделим числитель на знаменатель:
y = \frac{x^3}{x^2} + \frac{2}{x^2} = x + \frac{2}{x^2}


Шаг 3. Нахождение производной для исследования монотонности

Найдём производную функции:
y' = \frac{d}{dx} \left(x + \frac{2}{x^2}\right) = 1 - \frac{4}{x^3}


Шаг 4. Критические точки

Решим уравнение y' = 0:
1 - \frac{4}{x^3} = 0 \Rightarrow \frac{4}{x^3} = 1 \Rightarrow x^3 = 4 \Rightarrow x = \sqrt[3]{4}


Шаг 5. Исследование знака производной

  • При x < \sqrt[3]{4} возьмём, например, x=1:
    y'(1) = 1 - \frac{4}{1} = 1 - 4 = -3 < 0 → функция убывает.

  • При x > \sqrt[3]{4}, например, x=2:
    y'(2) = 1 - \frac{4}{8} = 1 - 0.5 = 0.5 > 0 → функция возрастает.


Шаг 6. Исследование поведения функции на промежутках и экстремум

  • Функция убывает на промежутке (0, \sqrt[3]{4})
  • Функция возрастает на промежутке (\sqrt[3]{4}, +\infty)
  • В точке x = \sqrt[3]{4} находится минимум.

Вычислим значение функции в этой точке:
y\left(\sqrt[3]{4}\right) = \sqrt[3]{4} + \frac{2}{\left(\sqrt[3]{4}\right)^2} = \sqrt[3]{4} + \frac{2}{\sqrt[3]{16}}


Шаг 7. Поведение функции при x \to 0^{\pm}

  • При x \to 0^+:
    y = x + \frac{2}{x^2} \to +\infty (так как \frac{2}{x^2} \to +\infty)

  • При x \to 0^-\right>:
    y = x + \frac{2}{x^2} \to +\infty (знаменатель положителен, так что тоже стремится к +∞)


Шаг 8. Поведение функции при x \to \pm \infty

  • При x \to +\infty:
    y \approx x + 0 \to +\infty

  • При x \to -\infty:
    y \approx x + 0 \to -\infty


Шаг 9. Асимптоты

  • Вертикальная асимптота при x=0
  • Косая асимптота:
    При больших |x| функция ведёт себя как y \approx x
    Значит, косая асимптота:
    y = x

Итоги:

  • Область определения: \mathbb{R} \setminus \{0\}
  • Функция убывает на (0, \sqrt[3]{4}), возрастает на (\sqrt[3]{4}, +\infty)
  • Минимум в точке x = \sqrt[3]{4}
  • Вертикальная асимптота при x=0
  • Косая асимптота: y = x
  • При x \to 0^{\pm} функция стремится к +∞
  • При x \to +\infty функция стремится к +∞, при x \to -\infty — к −∞

Построение графика

График можно построить, учитывая:

  • Область определения без точки 0
  • Поведение около 0 (вертикальная асимптота)
  • Косая асимптота y = x
  • Экстремум в точке x = \sqrt[3]{4} \approx 1.587 с найденным значением функции
  • Функция убывает слева от минимума и возрастает справа от него.

Если нужна помощь с построением графика на компьютере (например, с помощью Python или другого ПО), могу помочь и с этим.

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн