Исследовать свойства функции и построить график. y=(x^3+2)/(x^2)

Предмет: Математика
Раздел: Анализ функций (исследование функций)

Дана функция:
y = \frac{x^3 + 2}{x^2}

Шаг 1. Область определения функции

Функция определена при всех значениях x, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю.
Знаменатель: x^2 = 0 \Rightarrow x = 0
Значит, область определения:
D = \mathbb{R} \setminus \{0\}

Шаг 2. Преобразование функции

Разделим числитель на знаменатель:
y = \frac{x^3}{x^2} + \frac{2}{x^2} = x + \frac{2}{x^2}

Шаг 3. Нахождение производной для исследования монотонности

Найдём производную функции:
y' = \frac{d}{dx} \left(x + \frac{2}{x^2}\right) = 1 - \frac{4}{x^3}

Шаг 4. Критические точки

Решим уравнение y' = 0:
1 - \frac{4}{x^3} = 0 \Rightarrow \frac{4}{x^3} = 1 \Rightarrow x^3 = 4 \Rightarrow x = \sqrt[3]{4}

Шаг 5. Исследование знака производной

• При x < \sqrt[3]{4} возьмём, например, x=1:
  y'(1) = 1 - \frac{4}{1} = 1 - 4 = -3 < 0 → функция убывает.

• При x > \sqrt[3]{4}, например, x=2:
  y'(2) = 1 - \frac{4}{8} = 1 - 0.5 = 0.5 > 0 → функция возрастает.

Шаг 6. Исследование поведения функции на промежутках и экстремум

• Функция убывает на промежутке (0, \sqrt[3]{4})
• Функция возрастает на промежутке (\sqrt[3]{4}, +\infty)
• В точке x = \sqrt[3]{4} находится минимум.

Вычислим значение функции в этой точке:
y\left(\sqrt[3]{4}\right) = \sqrt[3]{4} + \frac{2}{\left(\sqrt[3]{4}\right)^2} = \sqrt[3]{4} + \frac{2}{\sqrt[3]{16}}

Шаг 7. Поведение функции при x \to 0^{\pm}

• При x \to 0^+:
  y = x + \frac{2}{x^2} \to +\infty (так как \frac{2}{x^2} \to +\infty)

• При x \to 0^-\right>:
  y = x + \frac{2}{x^2} \to +\infty (знаменатель положителен, так что тоже стремится к +∞)

Шаг 8. Поведение функции при x \to \pm \infty

• При x \to +\infty:
  y \approx x + 0 \to +\infty

• При x \to -\infty:
  y \approx x + 0 \to -\infty

Шаг 9. Асимптоты

• Вертикальная асимптота при x=0
• Косая асимптота:
  При больших |x| функция ведёт себя как y \approx x
  Значит, косая асимптота:
  y = x

Итоги:

• Область определения: \mathbb{R} \setminus \{0\}
• Функция убывает на (0, \sqrt[3]{4}), возрастает на (\sqrt[3]{4}, +\infty)
• Минимум в точке x = \sqrt[3]{4}
• Вертикальная асимптота при x=0
• Косая асимптота: y = x
• При x \to 0^{\pm} функция стремится к +∞
• При x \to +\infty функция стремится к +∞, при x \to -\infty — к −∞

Построение графика

График можно построить, учитывая:

• Область определения без точки 0
• Поведение около 0 (вертикальная асимптота)
• Косая асимптота y = x
• Экстремум в точке x = \sqrt[3]{4} \approx 1.587 с найденным значением функции
• Функция убывает слева от минимума и возрастает справа от него.

Если нужна помощь с построением графика на компьютере (например, с помощью Python или другого ПО), могу помочь и с этим.