Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Исследовать свойства функции и построить график. y=(x^3+2)/(x^2)
Предмет: Математика
Раздел: Анализ функций (исследование функций)
Дана функция:
y = \frac{x^3 + 2}{x^2}
Функция определена при всех значениях x, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю.
Знаменатель: x^2 = 0 \Rightarrow x = 0
Значит, область определения:
D = \mathbb{R} \setminus \{0\}
Разделим числитель на знаменатель:
y = \frac{x^3}{x^2} + \frac{2}{x^2} = x + \frac{2}{x^2}
Найдём производную функции:
y' = \frac{d}{dx} \left(x + \frac{2}{x^2}\right) = 1 - \frac{4}{x^3}
Решим уравнение y' = 0:
1 - \frac{4}{x^3} = 0 \Rightarrow \frac{4}{x^3} = 1 \Rightarrow x^3 = 4 \Rightarrow x = \sqrt[3]{4}
При x < \sqrt[3]{4} возьмём, например, x=1:
y'(1) = 1 - \frac{4}{1} = 1 - 4 = -3 < 0 → функция убывает.
При x > \sqrt[3]{4}, например, x=2:
y'(2) = 1 - \frac{4}{8} = 1 - 0.5 = 0.5 > 0 → функция возрастает.
Вычислим значение функции в этой точке:
y\left(\sqrt[3]{4}\right) = \sqrt[3]{4} + \frac{2}{\left(\sqrt[3]{4}\right)^2} = \sqrt[3]{4} + \frac{2}{\sqrt[3]{16}}
При x \to 0^+:
y = x + \frac{2}{x^2} \to +\infty (так как \frac{2}{x^2} \to +\infty)
При x \to 0^-\right>:
y = x + \frac{2}{x^2} \to +\infty (знаменатель положителен, так что тоже стремится к +∞)
При x \to +\infty:
y \approx x + 0 \to +\infty
При x \to -\infty:
y \approx x + 0 \to -\infty
График можно построить, учитывая:
Если нужна помощь с построением графика на компьютере (например, с помощью Python или другого ПО), могу помочь и с этим.