Исследовать свойства функции и построить график. y=((x+1)^2)/(x^2+2x)

Условие:

Исследовать свойства функции и построить график. y=((x+1)^2)/(x^2+2x)

Решение:

Предмет: Математика
Раздел: Анализ функций (исследование функций)

Дана функция:
y = \frac{(x+1)^2}{x^2 + 2x}

1. Область определения функции

Знаменатель не должен быть равен нулю:
x^2 + 2x \neq 0
Решим:
x(x+2) \neq 0 \implies x \neq 0, \quad x \neq -2
Значит, область определения:
D = \mathbb{R} \setminus \{0, -2\}

2. Упрощение функции

Рассмотрим числитель:
(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1
Знаменатель:
x^2 + 2x = x(x+2)
Функция:
y = \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 + 2x} = \frac{x^2 + 2x + 1}{x(x+2)}

3. Нули функции

Числитель равен нулю, когда:
x^2 + 2x + 1 = 0 \implies (x+1)^2 = 0 \implies x = -1
Проверяем, входит ли этот x в область определения — да, входит. Значит, функция равна нулю при x = -1.

4. Ассимптоты

  • Вертикальные асимптоты возникают в точках, где знаменатель равен нулю (если числитель там не равен нулю):

В точках x=0 и x=-2 знаменатель равен нулю. Проверим числитель:

  • При x=0: числитель (0+1)^2 = 1 \neq 0
  • При x=-2: числитель (-2+1)^2 = (-1)^2 = 1 \neq 0

Значит, в этих точках вертикальные асимптоты.

  • Горизонтальная асимптота:

Степени числителя и знаменателя равны (обе 2). Коэффициенты при старших степенях:
Числитель: 1 \cdot x^2, знаменатель: 1 \cdot x^2
Значит, горизонтальная асимптота:
y = \frac{1}{1} = 1

5. Производная функции (для исследования монотонности)

Найдем производную функции y = \frac{u}{v}, где
u = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1
v = x^2 + 2x

Производные:
u' = 2x + 2
v' = 2x + 2

По правилу дифференцирования частного:
y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{(2x+2)(x^2 + 2x) - (x^2 + 2x +1)(2x+2)}{(x^2 + 2x)^2}

В числителе вынесем (2x+2):
y' = \frac{(2x+2)(x^2 + 2x - x^2 - 2x -1)}{(x^2 + 2x)^2} = \frac{(2x+2)(-1)}{(x^2 + 2x)^2} = \frac{-2(x+1)}{(x^2 + 2x)^2}

6. Критические точки

Найдем, где y' = 0:
Числитель равен нулю при x + 1 = 0 \implies x = -1

Точки, где производная не существует — это точки, где знаменатель равен нулю, то есть x=0 и x=-2 (не входят в область определения).

7. Поведение производной

  • Знаменатель (x^2 + 2x)^2 > 0 для всех x \neq 0, -2
  • Знак производной зависит от числителя -2(x+1):
    • При x < -1, (x+1) < 0, значит -2(x+1) > 0, производная положительна — функция возрастает.
    • При x > -1, (x+1) > 0, значит -2(x+1) < 0, производная отрицательна — функция убывает.

8. Экстремум

В точке x = -1 производная меняет знак с "+" на "-", значит в x=-1 локальный максимум.

9. Поведение функции на интервалах

Область определения разбита точками -2 и 0 на три интервала:

  • (-\infty, -2)
  • (-2, 0)
  • (0, +\infty)

Исследуем знак функции на этих интервалах.

  • При x \to -2^- знаменатель стремится к нулю, функция стремится к бесконечности (положительной или отрицательной, определим ниже).
  • При x \to -2^+ аналогично.
  • При x \to 0^- и x \to 0^+ функция стремится к бесконечности.

10. Поведение функции при больших |x|

При x \to \pm \infty
y \to 1 (горизонтальная асимптота)

11. Построение графика

  • Область определения: x \neq -2, 0
  • Вертикальные асимптоты: x = -2, x = 0
  • Горизонтальная асимптота: y = 1
  • Нуль функции: x = -1
  • Локальный максимум в x = -1
  • Функция возрастает на (-\infty, -1), убывает на (-1, 0) и (0, +\infty)

Если нужно, могу построить график функции на основе этого анализа. Хотите?

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн