Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Исследовать свойства функции и построить график. y=((x+1)^2)/(x^2+2x)
Предмет: Математика
Раздел: Анализ функций (исследование функций)
Дана функция:
y = \frac{(x+1)^2}{x^2 + 2x}
Знаменатель не должен быть равен нулю:
x^2 + 2x \neq 0
Решим:
x(x+2) \neq 0 \implies x \neq 0, \quad x \neq -2
Значит, область определения:
D = \mathbb{R} \setminus \{0, -2\}
Рассмотрим числитель:
(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1
Знаменатель:
x^2 + 2x = x(x+2)
Функция:
y = \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 + 2x} = \frac{x^2 + 2x + 1}{x(x+2)}
Числитель равен нулю, когда:
x^2 + 2x + 1 = 0 \implies (x+1)^2 = 0 \implies x = -1
Проверяем, входит ли этот x в область определения — да, входит. Значит, функция равна нулю при x = -1.
В точках x=0 и x=-2 знаменатель равен нулю. Проверим числитель:
Значит, в этих точках вертикальные асимптоты.
Степени числителя и знаменателя равны (обе 2). Коэффициенты при старших степенях:
Числитель: 1 \cdot x^2, знаменатель: 1 \cdot x^2
Значит, горизонтальная асимптота:
y = \frac{1}{1} = 1
Найдем производную функции y = \frac{u}{v}, где
u = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1
v = x^2 + 2x
Производные:
u' = 2x + 2
v' = 2x + 2
По правилу дифференцирования частного:
y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{(2x+2)(x^2 + 2x) - (x^2 + 2x +1)(2x+2)}{(x^2 + 2x)^2}
В числителе вынесем (2x+2):
y' = \frac{(2x+2)(x^2 + 2x - x^2 - 2x -1)}{(x^2 + 2x)^2} = \frac{(2x+2)(-1)}{(x^2 + 2x)^2} = \frac{-2(x+1)}{(x^2 + 2x)^2}
Найдем, где y' = 0:
Числитель равен нулю при x + 1 = 0 \implies x = -1
Точки, где производная не существует — это точки, где знаменатель равен нулю, то есть x=0 и x=-2 (не входят в область определения).
В точке x = -1 производная меняет знак с "+" на "-", значит в x=-1 локальный максимум.
Область определения разбита точками -2 и 0 на три интервала:
Исследуем знак функции на этих интервалах.
При x \to \pm \infty
y \to 1 (горизонтальная асимптота)
Если нужно, могу построить график функции на основе этого анализа. Хотите?