Исследовать свойства функции и построить график. y=((x+1)^2)/(x^2+2x)

Предмет: Математика
Раздел: Анализ функций (исследование функций)

Дана функция:
y = \frac{(x+1)^2}{x^2 + 2x}

1. Область определения функции

Знаменатель не должен быть равен нулю:
x^2 + 2x \neq 0
Решим:
x(x+2) \neq 0 \implies x \neq 0, \quad x \neq -2
Значит, область определения:
D = \mathbb{R} \setminus \{0, -2\}

2. Упрощение функции

Рассмотрим числитель:
(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1
Знаменатель:
x^2 + 2x = x(x+2)
Функция:
y = \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 + 2x} = \frac{x^2 + 2x + 1}{x(x+2)}

3. Нули функции

Числитель равен нулю, когда:
x^2 + 2x + 1 = 0 \implies (x+1)^2 = 0 \implies x = -1
Проверяем, входит ли этот x в область определения — да, входит. Значит, функция равна нулю при x = -1.

4. Ассимптоты

• Вертикальные асимптоты возникают в точках, где знаменатель равен нулю (если числитель там не равен нулю):

В точках x=0 и x=-2 знаменатель равен нулю. Проверим числитель:

• При x=0: числитель (0+1)^2 = 1 \neq 0
• При x=-2: числитель (-2+1)^2 = (-1)^2 = 1 \neq 0

Значит, в этих точках вертикальные асимптоты.

• Горизонтальная асимптота:

Степени числителя и знаменателя равны (обе 2). Коэффициенты при старших степенях:
Числитель: 1 \cdot x^2, знаменатель: 1 \cdot x^2
Значит, горизонтальная асимптота:
y = \frac{1}{1} = 1

5. Производная функции (для исследования монотонности)

Найдем производную функции y = \frac{u}{v}, где
u = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1
v = x^2 + 2x

Производные:
u' = 2x + 2
v' = 2x + 2

По правилу дифференцирования частного:
y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{(2x+2)(x^2 + 2x) - (x^2 + 2x +1)(2x+2)}{(x^2 + 2x)^2}

В числителе вынесем (2x+2):
y' = \frac{(2x+2)(x^2 + 2x - x^2 - 2x -1)}{(x^2 + 2x)^2} = \frac{(2x+2)(-1)}{(x^2 + 2x)^2} = \frac{-2(x+1)}{(x^2 + 2x)^2}

6. Критические точки

Найдем, где y' = 0:
Числитель равен нулю при x + 1 = 0 \implies x = -1

Точки, где производная не существует — это точки, где знаменатель равен нулю, то есть x=0 и x=-2 (не входят в область определения).

7. Поведение производной

• Знаменатель (x^2 + 2x)^2 > 0 для всех x \neq 0, -2
• Знак производной зависит от числителя -2(x+1):
  • При x < -1, (x+1) < 0, значит -2(x+1) > 0, производная положительна — функция возрастает.
  • При x > -1, (x+1) > 0, значит -2(x+1) < 0, производная отрицательна — функция убывает.

8. Экстремум

В точке x = -1 производная меняет знак с "+" на "-", значит в x=-1 локальный максимум.

9. Поведение функции на интервалах

Область определения разбита точками -2 и 0 на три интервала:

• (-\infty, -2)
• (-2, 0)
• (0, +\infty)

Исследуем знак функции на этих интервалах.

• При x \to -2^- знаменатель стремится к нулю, функция стремится к бесконечности (положительной или отрицательной, определим ниже).
• При x \to -2^+ аналогично.
• При x \to 0^- и x \to 0^+ функция стремится к бесконечности.

10. Поведение функции при больших |x|

При x \to \pm \infty
y \to 1 (горизонтальная асимптота)

11. Построение графика

• Область определения: x \neq -2, 0
• Вертикальные асимптоты: x = -2, x = 0
• Горизонтальная асимптота: y = 1
• Нуль функции: x = -1
• Локальный максимум в x = -1
• Функция возрастает на (-\infty, -1), убывает на (-1, 0) и (0, +\infty)

Если нужно, могу построить график функции на основе этого анализа. Хотите?