Исследовать на экстремум функцию

Для исследования функции на экстремум используется метод нахождения критических точек и исследование их с помощью второго дифференциала. Дана функция:

z = 6(x - y) - 3x^2 - 3y^2.

1. Найдем частные производные:

Частная производная по x: [ \frac{\partial z}{\partial x} = 6 - 6x ]

Частная производная по y: [ \frac{\partial z}{\partial y} = -6 - 6y ]

2. Найдем критические точки.

Критические точки находятся из уравнений: [ \frac{\partial z}{\partial x} = 0 \quad \text{и} \quad \frac{\partial z}{\partial y} = 0. ]

Решаем систему:

1. (6 - 6x = 0) → (x = 1),
2. (-6 - 6y = 0) → (y = -1).

Критическая точка: ((x, y) = (1, -1)).

3. Исследуем природу критической точки с помощью второго дифференциала.

Вторые частные производные: [ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -6, ] [ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -6, ] [ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 0. ]

Вычислим определитель матрицы Гессе: [ H = \begin{vmatrix} \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \ \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -6 & 0 \ 0 & -6 \end{vmatrix} = (-6)(-6) - 0^2 = 36. ]

Так как (H > 0) и (\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} < 0), точка ((1, -1)) является точкой максимума.

Ответ: Функция имеет максимум в точке ((1, -1)).