Исследовать на экстремум функции

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — функции нескольких переменных, исследование на экстремум

Нам дана функция:

z = x^3 + 8y^3 - 6xy + 4

Задача: Исследовать функцию на экстремум, то есть найти критические точки и определить, являются ли они точками минимума, максимума или седловыми точками.

Шаг 1: Найдём частные производные

Найдём первые частные производные функции:

 \frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 - 6y 

 \frac{\partial z}{\partial y} = 24y^2 - 6x 

Шаг 2: Найдём критические точки

Критические точки находятся из системы:

 \begin{cases} 3x^2 - 6y = 0 \ 24y^2 - 6x = 0 \end{cases} 

Решим систему:

Из первого уравнения:

3x^2 = 6y \Rightarrow y = \frac{1}{2}x^2

Подставим во второе:

 24\left(\frac{1}{2}x^2\right)^2 - 6x = 0 \Rightarrow 24\cdot \frac{1}{4}x^4 - 6x = 0 \Rightarrow 6x^4 - 6x = 0 

 6x(x^3 - 1) = 0 \Rightarrow x = 0 \quad \text{или} \quad x = 1 

Для x = 0:
y = \frac{1}{2}(0)^2 = 0
→ Критическая точка: (0, 0)

Для x = 1:
y = \frac{1}{2}(1)^2 = \frac{1}{2}
→ Критическая точка: (1, \frac{1}{2})

Шаг 3: Исследуем характер критических точек

Вычислим вторые производные:

 \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 6x, \quad \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 48y, \quad \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = -6 

Составим гессиан (матрицу вторых производных):

 H = \begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} \ f_{yx} & f_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6x & -6 \ -6 & 48y \end{bmatrix} 

Найдём определитель матрицы Гессе:

 D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = (6x)(48y) - (-6)^2 = 288xy - 36 

Точка (0, 0):

D = 288 \cdot 0 \cdot 0 - 36 = -36
→ Поскольку D < 0, точка (0, 0) — седловая точка.

Точка (1, 1/2):

D = 288 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} - 36 = 144 - 36 = 108 > 0
Проверим f_{xx} = 6x = 6 > 0
→ Это точка локального минимума.

Ответ:

Функция z = x^3 + 8y^3 - 6xy + 4 имеет:

• Седловую точку в (0, 0)
• Точку локального минимума в (1, \frac{1}{2})