Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и на основании результатов построить ее график

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальное исчисление (исследование функций)

Дано уравнение функции: \[ y = ax^3 + bx^2 + cx + d \]

С учетом заданных коэффициентов \(a = 2\), \(b = 0\), \(c = -24\), и \(d = 10\), функция принимает вид: \[ y = 2x^3 - 24x + 10 \]

Шаг 1: Найдем первую производную \(y'\) для нахождения критических точек (точек экстремума)

Воспользуемся стандартными правилами дифференцирования многочленов:

\[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 24x + 10) \]

\[ y' = 3 \cdot 2x^2 - 24 = 6x^2 - 24 \]

Шаг 2: Найдем критические точки

Критические точки определяются тем, что производная равна нулю, то есть:

\[ 6x^2 - 24 = 0 \]

Решим это уравнение:

\[ 6x^2 = 24 \]

\[ x^2 = 4 \]

\[ x = \pm 2 \]

Таким образом, критические точки — это \(x = 2\) и \(x = -2\).

Шаг 3: Определим характер критических точек с помощью второй производной \(y''\)

Для этого найдем вторую производную:

\[ y'' = \frac{d}{dx}(6x^2 - 24) = 12x \]

Теперь подставим \(x = 2\) и \(x = -2\) в вторую производную:

1. При \(x = 2\): \[ y''(2) = 12 \cdot 2 = 24 > 0 \]
   Значит, при \(x = 2\) функция имеет минимум.
2. При \(x = -2\): \[ y''(-2) = 12 \cdot (-2) = -24 < 0 \]
   Значит, при \(x = -2\) функция имеет максимум.

Шаг 4: Найдем значения функции в критических точках

Подставим \(x = 2\) и \(x = -2\) в исходную функцию \(y = 2x^3 - 24x + 10\):

1. При \(x = 2\): \[ y(2) = 2(2)^3 - 24(2) + 10 = 16 - 48 + 10 = -22 \]
2. При \(x = -2\): \[ y(-2) = 2(-2)^3 - 24(-2) + 10 = -16 + 48 + 10 = 42 \]

Шаг 5: Найдем поведение функции на бесконечности

Поскольку старший член функции \(2x^3\) содержит кубическую зависимость, при больших значениях \(|x|\) функция будет стремиться к бесконечности:

• При \(x \to +\infty\), \(y \to +\infty\)
• При \(x \to -\infty\), \(y \to -\infty\)

Шаг 6: Построим график функции

• Функция имеет минимум в точке \(x = 2\), \(y = -22\).
• Функция имеет максимум в точке \(x = -2\), \(y = 42\).
• На бесконечностях \(y \to +\infty\) при \(x \to +\infty\) и \(y \to -\infty\) при \(x \to -\infty\).

Теперь можем изобразить общий вид графика, учитывая критические точки и поведение на бесконечности. Функция выглядит как кубическая функция с максимумом и минимумом.