Исследовать функцию на экстремум

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальное исчисление (Исследование функции на экстремум)

Исследуем функцию на экстремумы:

y = 4x^2 - 3 + 12

1. Найдем производную функции

Для поиска экстремумов функции необходимо найти ее первую производную:

y' = \frac{d}{dx} (4x^2 - 3 + 12)

Так как производная константы равна нулю, а производная 4x^2 равна 8x, получаем:

y' = 8x

2. Найдем критические точки

Экстремумы функции возможны в точках, где производная равна нулю:

8x = 0

Решая это уравнение, получаем:

x = 0

3. Определим характер критической точки

Рассмотрим вторую производную:

y'' = \frac{d}{dx} (8x) = 8

Так как вторая производная положительна (y'' = 8 > 0), точка x = 0 является точкой минимума.

4. Найдем значение функции в точке минимума

Подставляем x = 0 в исходную функцию:

y(0) = 4(0)^2 - 3 + 12 = 9

5. Вывод

Функция имеет минимум в точке x = 0, при этом минимальное значение функции равно y = 9.
Функция не имеет точек максимума, так как это парабола, ветви которой направлены вверх.