Исследовать функцию и построить её график

Предмет: Математика

Раздел: Исследование функций и построение графиков

Исследуем функцию:
 y = 2x^3 - 3x^2 - 4 

1. Область определения

Функция является многочленом третьей степени, поэтому она определена на всей числовой прямой:
 D(y) = (-\infty; +\infty) 

2. Нахождение критических точек

Найдем производную функции:
 y' = \frac{d}{dx} (2x^3 - 3x^2 - 4) = 6x^2 - 6x 
Приравняем производную к нулю:
 6x^2 - 6x = 0 
Вынесем общий множитель:
 6x(x - 1) = 0 
Отсюда критические точки:
 x_1 = 0, \quad x_2 = 1 

3. Исследование на экстремумы

Найдем вторую производную:
 y'' = \frac{d}{dx} (6x^2 - 6x) = 12x - 6 

Вычислим значения второй производной в критических точках:

•  y''(0) = 12(0) - 6 = -6  (отрицательное, значит, в x = 0 максимум)
•  y''(1) = 12(1) - 6 = 6  (положительное, значит, в x = 1 минимум)

4. Асимптоты

Так как функция является многочленом, у нее нет вертикальных и горизонтальных асимптот.

5. Поведение на бесконечности

Так как старший коэффициент положительный (2x^3), то:

• при x \to +\infty, \quad y \to +\infty
• при x \to -\infty, \quad y \to -\infty

6. Построение графика

На основе полученной информации строим график функции. Он будет иметь максимум в точке x = 0 и минимум в точке x = 1, а также стремиться к +\infty при больших x и к -\infty при малых x.

График можно построить с помощью программного инструмента (например, GeoGebra, Desmos или Python).