Исследовать функцию и построить ее график

Предмет: Математика
Раздел: Исследование функций и построение графиков

Исследуем функцию:
y = 2x^3 + 3x^2

1. Область определения

Функция является многочленом, поэтому она определена на всей числовой оси:
D(y) = (-\infty; +\infty)

2. Нули функции

Найдем точки, где y = 0:
2x^3 + 3x^2 = 0
Вынесем общий множитель:
x^2(2x + 3) = 0
Решим уравнение:
x^2 = 0 \Rightarrow x = 0
2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}
Значит, нули функции: x = 0 и x = -\frac{3}{2}.

3. Производная и критические точки

Найдем первую производную:
y' = \frac{d}{dx} (2x^3 + 3x^2) = 6x^2 + 6x
Найдем критические точки, решая уравнение y' = 0:
6x^2 + 6x = 0
Вынесем общий множитель:
6x(x + 1) = 0
Решаем:
x = 0 или x = -1.

4. Вторичная производная и исследование на экстремумы

Найдем вторую производную:
y'' = \frac{d}{dx} (6x^2 + 6x) = 12x + 6
Подставим критические точки:

• Для x = 0:
  y''(0) = 12(0) + 6 = 6 > 0 (минимум).
• Для x = -1:
  y''(-1) = 12(-1) + 6 = -6 < 0 (максимум).

5. Поведение функции

• При x \to -\infty: y \to -\infty.
• При x \to +\infty: y \to +\infty.

6. Построение графика

На основе найденных точек (нули, экстремумы) и поведения функции строим график.
Функция имеет максимум в x = -1 и минимум в x = 0.

График будет иметь точки:

• (-1, 1) — точка максимума.
• (0, 0) — точка минимума.
• Пересечение с осью OX в x = -\frac{3}{2} и x = 0.

График кубической функции проходит через эти точки и имеет характерный изгиб.