Исследовать функцию

Предмет: Математика
Раздел: Исследование функций

Для исследования функции $y={\left(\frac{x}{x+5}\right)}^2$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Область определения функции

Функция $y={\left(\frac{x}{x+5}\right)}^2$ содержит дробь, знаменатель которой не должен быть равен нулю.
Знаменатель $x+5=0$ при $x=-5$.
Следовательно, область определения функции:
$D(y)=\mathbb{R}\setminus \{-5\}$, то есть все числа, кроме $x=-5$.

2. Нули функции

Для нахождения нулей функции решаем уравнение:
$y={\left(\frac{x}{x+5}\right)}^2=0$.
Квадрат любого числа равен нулю, только если само число равно нулю.
$\frac{x}{x+5}=0$.
Числитель дроби равен нулю при $x=0$.
Таким образом, ноль функции: $x=0$.

3. Поведение функции при $x\to \pm \mathrm{\infty }$

Рассмотрим предел функции:
$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{x}{x+5}\right)}^2$.

1. Сначала вычислим предел дроби:
   $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{x+5}=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{x(1+\frac{5}{x})}=\frac{1}{1+0}=1$.

2. Теперь возводим в квадрат:
   $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{x}{x+5}\right)}^2=1^2=1$.

Следовательно, при $x\to \pm \mathrm{\infty }$ функция стремится к 1.

4. Производная функции

Для исследования возрастания и убывания функции, а также нахождения экстремумов, найдем первую производную.
Функция $y={\left(\frac{x}{x+5}\right)}^2$ является сложной функцией. Применим правило производной сложной функции:
$y^{\prime }=2\cdot \left(\frac{x}{x+5}\right)\cdot \left(\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{x+5}\right)\right)$.

Теперь найдем производную $\frac{x}{x+5}$ по правилу дифференцирования дроби:
$\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{x+5}\right)=\frac{(x+5)\cdot 1-x\cdot 1}{(x+5{)}^2}=\frac{5}{(x+5{)}^2}$.

Подставляем это в выражение для $y^{\prime }$:
$y^{\prime }=2\cdot \frac{x}{x+5}\cdot \frac{5}{(x+5{)}^2}=\frac{10x}{(x+5{)}^3}$.

5. Исследование на возрастание и убывание

Производная $y^{\prime }=\frac{10x}{(x+5{)}^3}$ определена на всей области определения функции $D(y)$.

1. Знак числителя $10x$ зависит от знака $x$.
2. Знаменатель $(x+5{)}^3$ всегда положителен, если $x\ne -5$.

Следовательно:

• При $x>0$, $y^{\prime }>0$, функция возрастает.
• При $x<0$, $y^{\prime }<0$, функция убывает.

Точка $x=0$ — точка минимума.

6. Вторичная проверка точки минимума

Значение функции в точке $x=0$:
$y(0)={\left(\frac{0}{0+5}\right)}^2=0$.

Таким образом, в точке $x=0$ функция достигает минимума $y=0$.

7. График и асимптоты

• Горизонтальная асимптота: $y=1$ (предел при $x\to \pm \mathrm{\infty }$).
• Вертикальная асимптота: $x=-5$ (точка разрыва функции).

Ответ:

1. Область определения: $D(y)=\mathbb{R}\setminus \{-5\}$.
2. Нуль функции: $x=0$.
3. Точка минимума: $(0,0)$.
4. Асимптоты:
   • Вертикальная: $x=-5$,
   • Горизонтальная: $y=1$.
5. Функция убывает на $x\in (-\mathrm{\infty },0)$ и возрастает на $x\in (0,+\mathrm{\infty })$.