Исследовать функцию

Условие:

исследовать функцию: y=((x/(x+5))^2

Решение:

Предмет: Математика
Раздел: Исследование функций

Для исследования функции y=(xx+5)2, нужно выполнить следующие шаги:


1. Область определения функции

Функция y=(xx+5)2 содержит дробь, знаменатель которой не должен быть равен нулю.
Знаменатель x+5=0 при x=5.
Следовательно, область определения функции:
D(y)=R{5}, то есть все числа, кроме x=5.


2. Нули функции

Для нахождения нулей функции решаем уравнение:
y=(xx+5)2=0.
Квадрат любого числа равен нулю, только если само число равно нулю.
xx+5=0.
Числитель дроби равен нулю при x=0.
Таким образом, ноль функции: x=0.


3. Поведение функции при x±

Рассмотрим предел функции:
limx±(xx+5)2.

  1. Сначала вычислим предел дроби:
    limx±xx+5=limx±xx(1+5x)=11+0=1.

  2. Теперь возводим в квадрат:
    limx±(xx+5)2=12=1.

Следовательно, при x± функция стремится к 1.


4. Производная функции

Для исследования возрастания и убывания функции, а также нахождения экстремумов, найдем первую производную.
Функция y=(xx+5)2 является сложной функцией. Применим правило производной сложной функции:
y=2(xx+5)(ddx(xx+5)).

Теперь найдем производную xx+5 по правилу дифференцирования дроби:
ddx(xx+5)=(x+5)1x1(x+5)2=5(x+5)2.

Подставляем это в выражение для y:
y=2xx+55(x+5)2=10x(x+5)3.


5. Исследование на возрастание и убывание

Производная y=10x(x+5)3 определена на всей области определения функции D(y).

  1. Знак числителя 10x зависит от знака x.
  2. Знаменатель (x+5)3 всегда положителен, если x5.

Следовательно:

  • При x>0, y>0, функция возрастает.
  • При x<0, y<0, функция убывает.

Точка x=0 — точка минимума.


6. Вторичная проверка точки минимума

Значение функции в точке x=0:
y(0)=(00+5)2=0.

Таким образом, в точке x=0 функция достигает минимума y=0.


7. График и асимптоты

  • Горизонтальная асимптота: y=1 (предел при x±).
  • Вертикальная асимптота: x=5 (точка разрыва функции).

Ответ:

  1. Область определения: D(y)=R{5}.
  2. Нуль функции: x=0.
  3. Точка минимума: (0,0).
  4. Асимптоты:
    • Вертикальная: x=5,
    • Горизонтальная: y=1.
  5. Функция убывает на x(,0) и возрастает на x(0,+).
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Узнайте стоимость работы онлайн

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн
Напишем БЕСПЛАТНО любую работу за 30 минут