Исследовать функцию

Предмет: Математика
Раздел: Исследование функций

Для исследования функции y = \left(\frac{x}{x+5}\right)^2, нужно выполнить следующие шаги:

1. Область определения функции

Функция y = \left(\frac{x}{x+5}\right)^2 содержит дробь, знаменатель которой не должен быть равен нулю.
Знаменатель x + 5 = 0 при x = -5.
Следовательно, область определения функции:
D(y) = \mathbb{R} \setminus \{-5\}, то есть все числа, кроме x = -5.

2. Нули функции

Для нахождения нулей функции решаем уравнение:
y = \left(\frac{x}{x+5}\right)^2 = 0.
Квадрат любого числа равен нулю, только если само число равно нулю.
\frac{x}{x+5} = 0.
Числитель дроби равен нулю при x = 0.
Таким образом, ноль функции: x = 0.

3. Поведение функции при x \to \pm\infty

Рассмотрим предел функции:
\lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{x}{x+5}\right)^2.

1. Сначала вычислим предел дроби:
   \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x+5} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x(1 + \frac{5}{x})} = \frac{1}{1 + 0} = 1.

2. Теперь возводим в квадрат:
   \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{x}{x+5}\right)^2 = 1^2 = 1.

Следовательно, при x \to \pm\infty функция стремится к 1.

4. Производная функции

Для исследования возрастания и убывания функции, а также нахождения экстремумов, найдем первую производную.
Функция y = \left(\frac{x}{x+5}\right)^2 является сложной функцией. Применим правило производной сложной функции:
y' = 2 \cdot \left(\frac{x}{x+5}\right) \cdot \left(\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{x+5}\right)\right).

Теперь найдем производную \frac{x}{x+5} по правилу дифференцирования дроби:
\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{x+5}\right) = \frac{(x+5) \cdot 1 - x \cdot 1}{(x+5)^2} = \frac{5}{(x+5)^2}.

Подставляем это в выражение для y':
y' = 2 \cdot \frac{x}{x+5} \cdot \frac{5}{(x+5)^2} = \frac{10x}{(x+5)^3}.

5. Исследование на возрастание и убывание

Производная y' = \frac{10x}{(x+5)^3} определена на всей области определения функции D(y).

1. Знак числителя 10x зависит от знака x.
2. Знаменатель (x+5)^3 всегда положителен, если x \neq -5.

Следовательно:

• При x > 0, y' > 0, функция возрастает.
• При x < 0, y' < 0, функция убывает.

Точка x = 0 — точка минимума.

6. Вторичная проверка точки минимума

Значение функции в точке x = 0:
y(0) = \left(\frac{0}{0+5}\right)^2 = 0.

Таким образом, в точке x = 0 функция достигает минимума y = 0.

7. График и асимптоты

• Горизонтальная асимптота: y = 1 (предел при x \to \pm\infty).
• Вертикальная асимптота: x = -5 (точка разрыва функции).

Ответ:

1. Область определения: D(y) = \mathbb{R} \setminus \{-5\}.
2. Нуль функции: x = 0.
3. Точка минимума: (0, 0).
4. Асимптоты:
   • Вертикальная: x = -5,
   • Горизонтальная: y = 1.
5. Функция убывает на x \in (-\infty, 0) и возрастает на x \in (0, +\infty).