Исследовать функцию. Найти четность или нечетность

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (исследование функции)

Дана функция:
y = \frac{x^3}{6} - x^2

1. Четность/нечетность функции

Функция четная, если f(-x) = f(x), и нечетная, если f(-x) = -f(x).

Вычислим f(-x):
 f(-x) = \frac{(-x)^3}{6} - (-x)^2 = \frac{-x^3}{6} - x^2 

Так как f(-x) \neq f(x) и f(-x) \neq -f(x), функция не является ни четной, ни нечетной.

2. Периодичность

Функция является многочленом, а многочлены не являются периодическими (кроме тривиального случая константной функции). Следовательно, функция не имеет периода.

3. Асимптоты

• Вертикальные асимптоты: Поскольку функция - многочлен, разрывов нет, а значит, вертикальных асимптот нет.
• Горизонтальные асимптоты: Определяются при \lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x).
   \lim\limits_{x \to \pm\infty} \left(\frac{x^3}{6} - x^2\right) = \pm\infty 
  Горизонтальных асимптот нет.
• Наклонные асимптоты: Проверяем предел \lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}:
   \lim\limits_{x \to \pm\infty} \left(\frac{x^3}{6x} - \frac{x^2}{x}\right) = \lim\limits_{x \to \pm\infty} \left(\frac{x^2}{6} - 1\right) = \infty 
  Так как предел уходит в бесконечность, наклонных асимптот нет.

4. Экстремумы и интервалы монотонности

Найдем производную функции:
 f'(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{x^3}{6} - x^2\right) = \frac{3x^2}{6} - 2x = \frac{x^2}{2} - 2x 

Найдем критические точки, решая уравнение f'(x) = 0:
 \frac{x^2}{2} - 2x = 0 
Вынесем x за скобки:
 x \left(\frac{x}{2} - 2\right) = 0 
Получаем два корня:
 x = 0 \quad \text{или} \quad \frac{x}{2} = 2 \Rightarrow x = 4 

Исследуем знаки производной на промежутках (-\infty, 0), (0, 4) и (4, \infty):

• При x < 0: берем x = -1, f'(-1) = \frac{(-1)^2}{2} - 2(-1) = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2} > 0, значит, функция возрастает.
• При 0 < x < 4: берем x = 2, f'(2) = \frac{2^2}{2} - 2(2) = \frac{4}{2} - 4 = 2 - 4 = -2 < 0, значит, функция убывает.
• При x > 4: берем x = 5, f'(5) = \frac{5^2}{2} - 2(5) = \frac{25}{2} - 10 = \frac{5}{2} > 0, значит, функция возрастает.

Таким образом:

• x = 0 — точка максимума.
• x = 4 — точка минимума.

Найдем значения функции в этих точках:
 f(0) = \frac{0^3}{6} - 0^2 = 0 
 f(4) = \frac{4^3}{6} - 4^2 = \frac{64}{6} - 16 = \frac{32}{3} - 16 = \frac{-16}{3} 

5. Точки перегиба и интервалы выпуклости

Вычислим вторую производную:
 f''(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{x^2}{2} - 2x\right) = \frac{2x}{2} - 2 = x - 2 

Найдем точки перегиба, решая уравнение f''(x) = 0:
 x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 

Исследуем знаки второй производной:

• При x < 2: берем x = 0, f''(0) = 0 - 2 = -2 (f''(x) < 0, значит, функция вогнута вниз).
• При x > 2: берем x = 3, f''(3) = 3 - 2 = 1 (f''(x) > 0, значит, функция выпукла вверх).

Значит, x = 2 — точка перегиба.

Найдем значение функции в этой точке:
 f(2) = \frac{2^3}{6} - 2^2 = \frac{8}{6} - 4 = \frac{4}{3} - 4 = -\frac{8}{3} 

6. Точки пересечения с осями координат

• Пересечение с осью OY: Подставляем x = 0, получаем y = 0.
• Пересечение с осью OX: Решаем уравнение f(x) = 0:
   \frac{x^3}{6} - x^2 = 0 
  Вынесем x^2:
   x^2 \left(\frac{x}{6} - 1\right) = 0 
  Получаем корни x = 0 и \frac{x}{6} = 1 \Rightarrow x = 6.

7. Интервалы знакопостоянства

• f(x) > 0 на (-\infty, 0) и (6, \infty).
• f(x) < 0 на (0, 6).

8. Схема поведения функции

• Возрастает на (-\infty, 0) и (4, \infty).
• Убывает на (0, 4).
• Максимум в (0, 0), минимум в (4, -\frac{16}{3}).
• Точка перегиба в (2, -\frac{8}{3}).
• Пересечения с осями: (0,0) и (6,0).