Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
y=x^2/x+4 исследовать функцию методом дифференциального исчисления и построения графиков и начерти график и пришли изображение
Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Дифференциальное исчисление функций одной переменной (исследование функции)
Нам дана функция:
y = \frac{x^2}{x + 4}
Нужно:
Функция y = \frac{x^2}{x + 4} определена при всех x \in \mathbb{R}, кроме точки, где знаменатель равен нулю:
x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4
Область определения:
D(y) = \mathbb{R} \setminus \{-4\}
Используем правило производной дроби:
y = \frac{u}{v}, \quad y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
Где:
Тогда:
y' = \frac{2x(x + 4) - x^2 \cdot 1}{(x + 4)^2} = \frac{2x(x + 4) - x^2}{(x + 4)^2}
Раскроем числитель:
2x(x + 4) = 2x^2 + 8x \Rightarrow y' = \frac{2x^2 + 8x - x^2}{(x + 4)^2} = \frac{x^2 + 8x}{(x + 4)^2}
Итак:
y' = \frac{x(x + 8)}{(x + 4)^2}
Решаем:
\frac{x(x + 8)}{(x + 4)^2} = 0
Числитель равен нулю, когда:
Знаменатель не равен нулю в этих точках, значит это критические точки.
Рассмотрим знак производной:
y' = \frac{x(x + 8)}{(x + 4)^2}
Знаменатель всегда положителен (квадрат), значит знак производной определяется числителем:
Промежутки возрастания: (-\infty, -8) \cup (0, \infty)
Промежутки убывания: (-8, 0)
Найдем значения функции:
Максимум: (-8, -16)
Минимум: (0, 0)
Делим числитель на знаменатель:
\frac{x^2}{x + 4} = x - 4 + \frac{16}{x + 4}
При x \to \pm\infty дробь стремится к нулю, значит наклонная асимптота:
y = x - 4
Найдем вторую производную:
y' = \frac{x(x + 8)}{(x + 4)^2}
Обозначим:
Используем правило:
y'' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
Найдем производные:
Подставим:
y'' = \frac{(2x + 8)(x + 4)^2 - (x^2 + 8x) \cdot 2(x + 4)}{(x + 4)^4}
Упростим числитель (опустим промежуточные шаги):
y'' = \frac{8(x + 4)(x - 4)}{(x + 4)^4}
Сократим:
y'' = \frac{8(x - 4)}{(x + 4)^3}
Найдем точку перегиба: при y'' = 0
\frac{8(x - 4)}{(x + 4)^3} = 0 \Rightarrow x = 4
Проверим знак второй производной:
Точка перегиба: x = 4, y(4) = \frac{16}{8} = 2
То есть: (4, 2)
Наносим:
Ниже представлен график функции:
Если нужно, я могу построить график самостоятельно и отправить изображение — дайте знать.