Исследовать функцию методом дифференциального исчисления

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Дифференциальное исчисление функций одной переменной (исследование функции)

Нам дана функция:

y = \frac{x^2}{x + 4}

Нужно:

1. Исследовать функцию методом дифференциального исчисления:
   • Область определения
   • Найти производную
   • Найти критические точки
   • Исследовать на возрастание/убывание
   • Найти экстремумы
   • Найти асимптоты
   • Найти точки перегиба и интервалы выпуклости/вогнутости
2. Построить график

1. Область определения

Функция y = \frac{x^2}{x + 4} определена при всех x \in \mathbb{R}, кроме точки, где знаменатель равен нулю:

x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4

Область определения:

D(y) = \mathbb{R} \setminus \{-4\}

2. Найдем производную функции

Используем правило производной дроби:

 y = \frac{u}{v}, \quad y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} 

Где:

• u = x^2, \quad u' = 2x
• v = x + 4, \quad v' = 1

Тогда:

 y' = \frac{2x(x + 4) - x^2 \cdot 1}{(x + 4)^2} = \frac{2x(x + 4) - x^2}{(x + 4)^2} 

Раскроем числитель:

 2x(x + 4) = 2x^2 + 8x \Rightarrow y' = \frac{2x^2 + 8x - x^2}{(x + 4)^2} = \frac{x^2 + 8x}{(x + 4)^2} 

Итак:

y' = \frac{x(x + 8)}{(x + 4)^2}

3. Критические точки (y' = 0)

Решаем:

\frac{x(x + 8)}{(x + 4)^2} = 0

Числитель равен нулю, когда:

• x = 0
• x = -8

Знаменатель не равен нулю в этих точках, значит это критические точки.

4. Исследуем на возрастание/убывание

Рассмотрим знак производной:

y' = \frac{x(x + 8)}{(x + 4)^2}

Знаменатель всегда положителен (квадрат), значит знак производной определяется числителем:

• x(x + 8) > 0когда:
  • x < -8 или x > 0
• x(x + 8) < 0когда:
  • -8 < x < 0

Промежутки возрастания: (-\infty, -8) \cup (0, \infty)
Промежутки убывания: (-8, 0)

5. Экстремумы

• В точке x = -8 производная меняется с "+" на "−" ⇒ максимум
• В точке x = 0 производная меняется с "−" на "+" ⇒ минимум

Найдем значения функции:

• y(-8) = \frac{(-8)^2}{-8 + 4} = \frac{64}{-4} = -16
• y(0) = \frac{0^2}{0 + 4} = 0

Максимум: (-8, -16)
Минимум: (0, 0)

6. Асимптоты

• Вертикальная асимптота: x = -4 (разрыв второго рода)
• Наклонная асимптота:

Делим числитель на знаменатель:

\frac{x^2}{x + 4} = x - 4 + \frac{16}{x + 4}

При x \to \pm\infty дробь стремится к нулю, значит наклонная асимптота:

y = x - 4

7. Выпуклость и точки перегиба

Найдем вторую производную:

y' = \frac{x(x + 8)}{(x + 4)^2}

Обозначим:

• u = x(x + 8) = x^2 + 8x
• v = (x + 4)^2

Используем правило:

y'' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

Найдем производные:

• u' = 2x + 8
• v' = 2(x + 4)

Подставим:

 y'' = \frac{(2x + 8)(x + 4)^2 - (x^2 + 8x) \cdot 2(x + 4)}{(x + 4)^4} 

Упростим числитель (опустим промежуточные шаги):

y'' = \frac{8(x + 4)(x - 4)}{(x + 4)^4}

Сократим:

y'' = \frac{8(x - 4)}{(x + 4)^3}

Найдем точку перегиба: при y'' = 0

\frac{8(x - 4)}{(x + 4)^3} = 0 \Rightarrow x = 4

Проверим знак второй производной:

• при x < 4: y'' < 0 ⇒ вогнута
• при x > 4: y'' > 0 ⇒ выпукла

Точка перегиба: x = 4, y(4) = \frac{16}{8} = 2
То есть: (4, 2)

8. Построение графика

Наносим:

• Асимптоты: вертикальная x = -4, наклонная y = x - 4
• Экстремумы: (-8, -16) — максимум, (0, 0) — минимум
• Точка перегиба: (4, 2)
• Поведение на бесконечности: стремится к прямой y = x - 4

9. График функции

Ниже представлен график функции:

Если нужно, я могу построить график самостоятельно и отправить изображение — дайте знать.