Исследование функции на монотонность и экстремумы

Предмет: Математика

Раздел: Исследование функций

Дана функция:
y = x + \frac{3}{x}.

Необходимо исследовать функцию на монотонность и найти экстремумы.

1. Найдем производную функции:

Функция y = x + \frac{3}{x} состоит из двух слагаемых: x и \frac{3}{x}.
Производная первого слагаемого x равна 1, а второго слагаемого \frac{3}{x} вычисляется как:  \frac{d}{dx} \left( \frac{3}{x} \right) = -\frac{3}{x^2}. 

Таким образом, производная функции:  y' = 1 - \frac{3}{x^2}. 

2. Найдем критические точки:

Критические точки находятся из условия y' = 0, то есть:  1 - \frac{3}{x^2} = 0. 

Решим уравнение:  \frac{3}{x^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{3}. 

Итак, критические точки: x = \sqrt{3} и x = -\sqrt{3}.

3. Исследуем знак производной:

Рассмотрим знак y' на промежутках, разделенных критическими точками x = -\sqrt{3} и x = \sqrt{3}.

• Для x \in (-\infty; -\sqrt{3}):
  Подставим значение x = -2 в y':
  y' = 1 - \frac{3}{(-2)^2} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} > 0.
  Значит, y'\ > 0, функция возрастает.

• Для x \in (-\sqrt{3}; \sqrt{3}):
  Подставим значение x = 0.5 в y':
  y' = 1 - \frac{3}{(0.5)^2} = 1 - \frac{3}{0.25} = 1 - 12 = -11 < 0.
  Значит, y'\ < 0, функция убывает.

• Для x \in (\sqrt{3}; +\infty):
  Подставим значение x = 2 в y':
  y' = 1 - \frac{3}{2^2} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} > 0.
  Значит, y'\ > 0, функция возрастает.

4. Найдем экстремумы:

• В точке x = -\sqrt{3}:
  Функция меняет знак производной с "+" на "-", значит, это точка максимума.
  Значение функции:
  y(-\sqrt{3}) = -\sqrt{3} + \frac{3}{-\sqrt{3}} = -\sqrt{3} - \sqrt{3} = -2\sqrt{3}.

• В точке x = \sqrt{3}:
  Функция меняет знак производной с "-" на "+", значит, это точка минимума.
  Значение функции:
  y(\sqrt{3}) = \sqrt{3} + \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}.

5. Ответ:

• Функция возрастает на промежутках x \in (-\infty; -\sqrt{3}) и x \in (\sqrt{3}; +\infty).
• Функция убывает на промежутке x \in (-\sqrt{3}; \sqrt{3}).
• Точка максимума: x = -\sqrt{3}, значение y = -2\sqrt{3}.
• Точка минимума: x = \sqrt{3}, значение y = 2\sqrt{3}.