Значение интеграла равно

Предмет: Математика

Раздел: Интегралы и интегральное исчисление

Задание:

Найти значение определённого интеграла \[ \int_{0}^{1} (e^x - 1) e^x \, dx. \]

Решение:

1. Раскроем скобки внутри интеграла:

\[ \int_{0}^{1} (e^x - 1) e^x \, dx = \int_{0}^{1} e^x \cdot e^x \, dx - \int_{0}^{1} e^x \, dx. \]

2. Упростим выражение:

\[ \int_{0}^{1} (e^x - 1) e^x \, dx = \int_{0}^{1} e^{2x} \, dx - \int_{0}^{1} e^x \, dx. \]

3. Рассмотрим первый интеграл:

\[ \int_{0}^{1} e^{2x} \, dx. \]

Для нахождения этого интеграла используем метод подстановки. Пусть \( u = 2x \). Следовательно, \( du = 2 \, dx \) или \( dx = \frac{du}{2} \). Изменим пределы интегрирования, когда \( x = 0 \), то \( u = 0 \), и когда \( x = 1 \), то \( u = 2 \).

\[ \int_{0}^{1} e^{2x} \, dx = \int_{0}^{2} e^u \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^u \, du = \frac{1}{2} \left[e^u\right]_{0}^{2} = \frac{1}{2} \left(e^2 - e^0\right) = \frac{1}{2} \left(e^2 - 1\right). \]

4. Рассмотрим второй интеграл:

\[ \int_{0}^{1} e^x \, dx. \]

Этот интеграл легко вычисляется напрямую: \[ \int_{0}^{1} e^x \, dx = \left[e^x\right]_{0}^{1} = e^1 - e^0 = e - 1. \]

5. Теперь вычитаем второй интеграл из первого:

\[ \frac{1}{2} \left(e^2 - 1\right) - (e - 1). \]

6. Приведём выражение к общему виду:

\[ = \frac{1}{2} e^2 - \frac{1}{2} - e + 1 = \frac{1}{2} e^2 - e + \frac{1}{2} + 1. \]

\[ = \frac{1}{2} e^2 - e + \frac{3}{2}. \]

Таким образом, значение данного интеграла: \[ \int_{0}^{1} (e^x - 1) e^x \, dx = \frac{1}{2} e^2 - e + \frac{3}{2}. \]