Запись интеграла в полярных координатах

Предмет: Математика

Раздел: Кратные интегралы, переход к полярным координатам

Дано двойной интеграл:
\iint\limits_{D} f(x,y)dxdy
где область D задана уравнением:
x^2 + y^2 = 3x, \quad y \geq x.

Шаг 1: Переход к полярным координатам

Полярные координаты выражаются через декартовы следующим образом:
 x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta. 
Подставим в уравнение окружности:
 (r\cos\theta)^2 + (r\sin\theta)^2 = 3r\cos\theta. 
Раскроем скобки:
 r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta = 3r\cos\theta. 
Вынесем r^2 за скобки:
 r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = 3r\cos\theta. 
Так как \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1, получаем:
 r^2 = 3r\cos\theta. 
Разделим на r (при r \neq 0):
 r = 3\cos\theta. 
Таким образом, граница области в полярных координатах:
 0 \leq r \leq 3\cos\theta. 

Шаг 2: Определение угловых границ

Область ограничена дополнительным условием y \geq x.
Перепишем его в полярных координатах:
 r\sin\theta \geq r\cos\theta. 
Разделим на r (при r \neq 0):
 \sin\theta \geq \cos\theta. 
Разделим обе части на \cos\theta:
 \tan\theta \geq 1. 
Это выполняется при:
 \theta \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]. 

Шаг 3: Запись интеграла в полярных координатах

При переходе к полярным координатам якобиан преобразования равен r, поэтому
 dxdy = r dr d\theta. 
Тогда двойной интеграл в полярных координатах принимает вид:
 \int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \int\limits_{0}^{3\cos\theta} f(r\cos\theta, r\sin\theta) r \, dr \, d\theta. 

Ответ:

 \int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \int\limits_{0}^{3\cos\theta} f(r\cos\theta, r\sin\theta) r \, dr \, d\theta.