Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Задача — задать пределы интегрирования в двойном интеграле по области \( D \), которая ограничена следующими уравнениями:
Геометрически область \( D \) — это верхняя часть круга радиуса 2 с центром в начале координат, ограниченная осью \( Oy \) и самой окружностью от \( (-2, 0) \) до \( (2, 0) \).
Для удобства проанализируем, как выглядит окружность: из уравнения \( x^2 + y^2 = 4 \) выражаем \( y \):
\[ y = \sqrt{4 - x^2} \]
Таким образом, для каждого значения \( x \) в пределах от \( -2 \) до \( 2 \), верхняя граница \( y \) будет изменяться от 0 до \( \sqrt{4 - x^2} \).
Запишем пределы интегрирования:
\[ \int_{-2}^{2} \int_0^{\sqrt{4 - x^2}} f(x, y) \, dy \, dx \]
Учитывая симметрию задачи, целесообразно использовать полярные координаты. Напомним, что в полярных координатах:
Границы окружности \( x^2 + y^2 = 4 \) в полярных координатах будут \( r = 2 \), а \( y = 0 \) соответствует углу \( \theta = 0 \), поэтому:
\[ \int_0^{\pi} \int_0^2 f(r, \theta) \, r \, dr \, d\theta \]
\[ \int_{-2}^{2} \int_0^{\sqrt{4 - x^2}} f(x, y) \, dy \, dx \]
\[ \int_0^{\pi} \int_0^2 f(r, \theta) \, r \, dr \, d\theta \]
Запишем двойной интеграл в полярных координатах: