Задать пределы интегрирования в двойном интеграле по области, которая ограничена следующими уравнениями

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (двойные интегралы)

Задача — задать пределы интегрирования в двойном интеграле по области \( D \), которая ограничена следующими уравнениями:

  • уравнением окружности \( x^2 + y^2 = 4 \) (окружность радиуса 2 с центром в точке \( (0,0) \));
  • прямой \( y = 0 \) (ось абсцисс, то есть ось \( Ox \)).
1. Геометрическое описание области \( D \):
  • Окружность \( x^2 + y^2 = 4 \) представляет собой окружность радиуса 2 с центром в начале координат.
  • Прямая \( y = 0 \) — это ось \( Ox \), которая отсекает нижнюю часть окружности, так что область \( D \), по которой нужно интегрировать, находится в верхней полуплоскости, ограниченной окружностью.

Геометрически область \( D \) — это верхняя часть круга радиуса 2 с центром в начале координат, ограниченная осью \( Oy \) и самой окружностью от \( (-2, 0) \) до \( (2, 0) \).

2. Пределы интегрирования в декартовой системе координат:

Для удобства проанализируем, как выглядит окружность: из уравнения \( x^2 + y^2 = 4 \) выражаем \( y \):

\[ y = \sqrt{4 - x^2} \]

Таким образом, для каждого значения \( x \) в пределах от \( -2 \) до \( 2 \), верхняя граница \( y \) будет изменяться от 0 до \( \sqrt{4 - x^2} \).

  • \( x \) изменяется от \( -2 \) до \( 2 \).
  • \( y \) изменяется от 0 до \( \sqrt{4 - x^2} \).

Запишем пределы интегрирования:

\[ \int_{-2}^{2} \int_0^{\sqrt{4 - x^2}} f(x, y) \, dy \, dx \]

3. Переход к полярным координатам:

Учитывая симметрию задачи, целесообразно использовать полярные координаты. Напомним, что в полярных координатах:

  • \( x = r \cos \theta \),
  • \( y = r \sin \theta \),
  • \( r^2 = x^2 + y^2 \),
  • элемент площади: \( dA = r \, dr \, d\theta \).

Границы окружности \( x^2 + y^2 = 4 \) в полярных координатах будут \( r = 2 \), а \( y = 0 \) соответствует углу \( \theta = 0 \), поэтому:

  • \( r \) изменяется от 0 до 2.
  • \( \theta \) изменяется от 0 до \( \pi \) (верхняя половина окружности).

\[ \int_0^{\pi} \int_0^2 f(r, \theta) \, r \, dr \, d\theta \]

Ответ:
  • В декартовых координатах пределы интегрирования таковы:
  • \[ \int_{-2}^{2} \int_0^{\sqrt{4 - x^2}} f(x, y) \, dy \, dx \]

  • В полярных координатах пределы интегрирования следующие:
  • \[ \int_0^{\pi} \int_0^2 f(r, \theta) \, r \, dr \, d\theta \]

Запишем двойной интеграл в полярных координатах:

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн