Задание связано с вычислением объема тела, ограниченного заданными поверхностями

Как студентский помощник, я вижу, что данное задание связано с вычислением объема тела, ограниченного заданными поверхностями. Это относится к курсу математического анализа, раздел "многомерные интегралы, расчет объемов тел". Задание на вычисление объема соответствует варианту 6.9:

• Поверхности: \( z = 2x^2 + y^2 \) \( x + y = 4 \) \( x \geq 0 \), \( y \geq 0 \), \( z \geq 0 \)

Пошаговое решение:

1. Определение области интегрирования. Линия пересечения прямой \( x + y = 4 \) и первой поверхности \( z = 2x^2 + y^2 \) свидетельствует о том, что областью анализа является область под поверхностью \( z = 2x^2 + y^2 \), ограниченная отрезком \( x + y = 4 \). Это треугольная область в первой четверти плоскости \( xy \).
2. Формула для объема через двойной интеграл: Так как объем определяется как интеграл от \( z = 2x^2 + y^2 \), объем может быть выражен как: \[ V = \iint\limits_D (2x^2 + y^2) \, dx \, dy, \] где \( D \) — это область, ограниченная линиями \( x + y = 4 \), \( x \geq 0 \), \( y \geq 0 \).
3. Параметры интегрирования: Из уравнения \( x + y = 4 \), очевидно, что \( y = 4 - x \). Это определяет границы для интегрирования по \( y \): \( 0 \leq y \leq 4 - x \), а \( x \) изменяется в пределах от 0 до 4, т.е., \( 0 \leq x \leq 4 \).
4. Двойной интеграл: Теперь решим двойной интеграл: \[ V = \int_0^4 \left( \int_0^{4 - x} (2x^2 + y^2) \, dy \right) dx \] Сначала вычислим внутренний интеграл по \( y \): \[ \int_0^{4 - x} (2x^2 + y^2) \, dy = 2x^2(4 - x) + \frac{(4 - x)^3}{3}. \] Теперь подставляем в внешний интеграл: \[ V = \int_0^4 \left( 2x^2(4 - x) + \frac{(4 - x)^3}{3} \right) dx \] Это разбиение приводит к двум интегралам: \[ V = \int_0^4 2x^2(4 - x) \, dx + \int_0^4 \frac{(4 - x)^3}{3} \, dx. \]
5. Решение каждого интеграла: Для первого интеграла: \[ \int_0^4 2x^2(4 - x) \, dx = 2 \left[ \frac{16x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_0^4 = 64/3. \] Для второго интеграла: \[ \int_0^4 \frac{(4 - x)^3}{3} \, dx = \frac{1}{3} \left(\frac{4^4}{4}\right) = \frac{64}{3}. \]
6. Сложение результатов: Теперь сложим результаты двух интегралов: \[ V = \frac{64}{3} + \frac{64}{3} = \frac{128}{3}. \] Итак, объем тела, ограниченного заданными поверхностями, равен \( \frac{128}{3} \).

Ответ: \( V = \frac{128}{3} \).