Задание на вычисление неопределенного интеграла

Это задание на вычисление неопределенного интеграла. Данный материал относиться к разделу математического анализа. Рассмотрим два интеграла по порядку:

a) $\text{(}\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+6x-7}}\text{)}$

Сначала упростим подынтегральное выражение $\text{(}{x}^2+6x-7\text{)}$. Попробуем разложить квадратный трёхчлен: $\text{[}{x}^2+6x-7=(x+3{)}^2-3^2-7=(x+3{)}^2-16.\text{]}$

Теперь перепишем интеграл: $\text{[}\int \frac{dx}{\sqrt{(x+3{)}^2-16}}.\text{]}$

Сделаем замену переменной: $\text{(}u=x+3\text{)}$, тогда $\text{(}du=dx\text{)}$. Интеграл примет вид: $\text{[}\int \frac{du}{\sqrt{u^2-4^2}}.\text{]}$

Это стандартный интеграл вида: $\text{[}\int \frac{du}{\sqrt{u^2-a^2}}=\ln |u+\sqrt{u^2-a^2}|+C,\text{]}$ где $\text{(}a=4\text{)}$. Получаем: $\text{[}\int \frac{du}{\sqrt{u^2-16}}=\ln |u+\sqrt{u^2-16}|+C.\text{]}$

Возвращая замену, получаем окончательный ответ: $\text{[}\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+6x-7}}=\ln |x+3+\sqrt{(x+3{)}^2-16}|+C.\text{]}$

б) $\text{(}\int x\cos 5xdx\text{)}$

Для решения этого интеграла используем метод интегрирования по частям. Вспомним формулу интегрирования по частям: $\text{[}\int udv=uv-\int vdu,\text{]}$ где $\text{(}u=x\text{)}$ и $\text{(}dv=\cos 5xdx\text{)}$. Тогда $\text{(}du=dx\text{)}$ и $\text{(}v=\frac{\sin 5x}{5}\text{)}$ (поскольку $\text{(}\int \cos axdx=\frac{\sin ax}{a}\text{)}$).

Теперь подставим все в формулу: $\text{[}\int x\cos 5xdx=x\cdot \frac{\sin 5x}{5}-\int \frac{\sin 5x}{5}dx.\text{]}$

Упростим выражение: $\text{[}=\frac{x\sin 5x}{5}-\frac{1}{5}\int \sin 5xdx.\text{]}$

Второй интеграл $\text{[}\int \sin 5xdx=-\frac{\cos 5x}{5}\text{]}$. Подставим обратно: $\text{[}\int x\cos 5xdx=\frac{x\sin 5x}{5}+\frac{\cos 5x}{25}+C.\text{]}$

Таким образом, мы получили окончательные ответы для обоих интегралов.