Задание на вычисление неопределенного интеграла

Это задание на вычисление неопределенного интеграла. Данный материал относиться к разделу математического анализа. Рассмотрим два интеграла по порядку:

a) \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 6x - 7}}\)

Сначала упростим подынтегральное выражение \(x^2 + 6x - 7\). Попробуем разложить квадратный трёхчлен: \[x^2 + 6x - 7 = (x + 3)^2 - 3^2 - 7 = (x + 3)^2 - 16.\]

Теперь перепишем интеграл: \[ \int \frac{dx}{\sqrt{(x + 3)^2 - 16}}. \]

Сделаем замену переменной: \(u = x + 3\), тогда \(du = dx\). Интеграл примет вид: \[ \int \frac{du}{\sqrt{u^2 - 4^2}}. \]

Это стандартный интеграл вида: \[ \int \frac{du}{\sqrt{u^2 - a^2}} = \ln \left| u + \sqrt{u^2 - a^2} \right| + C, \] где \(a = 4\). Получаем: \[ \int \frac{du}{\sqrt{u^2 - 16}} = \ln \left| u + \sqrt{u^2 - 16} \right| + C. \]

Возвращая замену, получаем окончательный ответ: \[ \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 6x - 7}} = \ln \left| x + 3 + \sqrt{(x + 3)^2 - 16} \right| + C. \]

б) \(\int x \cos 5x \, dx\)

Для решения этого интеграла используем метод интегрирования по частям. Вспомним формулу интегрирования по частям: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du, \] где \(u = x\) и \(dv = \cos 5x \, dx\). Тогда \(du = dx\) и \(v = \frac{\sin 5x}{5}\) (поскольку \(\int \cos ax \, dx = \frac{\sin ax}{a}\)).

Теперь подставим все в формулу: \[ \int x \cos 5x \, dx = x \cdot \frac{\sin 5x}{5} - \int \frac{\sin 5x}{5} \, dx. \]

Упростим выражение: \[ = \frac{x \sin 5x}{5} - \frac{1}{5} \int \sin 5x \, dx. \]

Второй интеграл \[ \int \sin 5x \, dx = - \frac{\cos 5x}{5}\]. Подставим обратно: \[ \int x \cos 5x \, dx = \frac{x \sin 5x}{5} + \frac{\cos 5x}{25} + C. \]

Таким образом, мы получили окончательные ответы для обоих интегралов.