Задачи по нахождению первообразной для каждой из заданных функций

Этот документ является частью самостоятельной работы по математике, конкретнее по разделу "Интегральное исчисление". Рассмотрим задачи по нахождению первообразной для каждой из заданных функций.

Задание 1: Найдите первообразную функции

Пункт a)

\[ y = -\frac{7}{x^3} \] Первое, что делаем, это представим функцию \( y \) в виде: \[ y = -7x^{-3} \] Применяя правило интегрирования для степенной функции \((ax^n)' = \frac{a}{n+1} x^{n+1}\), находим первообразную: \[ \int y \, dx = -7 \int x^{-3} \, dx = -7 \cdot \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = -7 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} = \frac{7}{2} x^{-2} \] Представим результат в другом виде: \[ \int y \, dx = \frac{7}{2x^2} + C \] где \( C \) — произвольная постоянная интегрирования.

Пункт b)

\[ y = x^{26} + 2x^9 + \cos(x) \] Для нахождения первообразной найдем первообразные каждого слагаемого по отдельности: \[ \int (x^{26} + 2x^9 + \cos(x)) \, dx = \int x^{26} \, dx + 2\int x^9 \, dx + \int \cos(x) \, dx \] Используя правило интегрирования для степенной функции: \[ \int x^{26} \, dx = \frac{x^{27}}{27} \] \[ \int x^9 \, dx = \frac{x^{10}}{10} \] Интеграл от \( \cos(x) \) равен: \[ \int \cos(x) \, dx = \sin(x) \] Объединяем все части: \[ \int (x^{26} + 2x^9 + \cos(x)) \, dx = \frac{x^{27}}{27} + 2 \cdot \frac{x^{10}}{10} + \sin(x) + C = \frac{x^{27}}{27} + \frac{x^{10}}{5} + \sin(x) + C \]

Пункт c)

\[ y = -6 \sqrt[6]{x^7} \] Перепишем функцию: \[ y = -6 \cdot x^{7/6} \] Находим первообразную: \[ \int y \, dx = -6 \int x^{7/6} \, dx = -6 \cdot \frac{x^{7/6 + 1}}{7/6 + 1} = -6 \cdot \frac{x^{13/6}}{13/6} = -6 \cdot \frac{6x^{13/6}}{13} = -\frac{36}{13} x^{13/6} + C \]

Пункт d)

\[ y = \frac{11}{(2+5x)^2} \] Используем замену: \( u = 2 + 5x \), тогда \( du = 5 dx \), \( dx = \frac{1}{5} du \). Переписываем интеграл в терминах \( u \): \[ \int \frac{11}{(2+5x)^2} \, dx = 11 \int \frac{1}{u^2} \cdot \frac{1}{5} \, du = \frac{11}{5} \int u^{-2} \, du = \frac{11}{5} \cdot \frac{u^{-1}}{-1} = -\frac{11}{5u} = -\frac{11}{5(2+5x)} + C \] Итак, первообразные для каждой функции найдены: 1. \( \int y \, dx = \frac{7}{2x^2} + C \) 2. \( \int y \, dx = \frac{x^{27}}/27 + \frac{x^{10}}/5 + \sin(x) + C \) 3. \( \int y \, dx = -\frac{36}{13} x^{13/6} + C \) 4. \( \int y \, dx = -\frac{11}/5(2+5x) + C \) Следующее задание во втором пункте требует более детального рассмотрения, особенно с учетом дополнительных условий, поэтому будет решаться отдельно.