Задача на интегрального исчисление

Это задание по математике, а конкретно из раздела интегрального исчисления.

Чтобы решить интеграл \(\int (x^2 - 3x) \ln x \, dx\), нужно использовать интегрирование по частям. Формула интегрирования по частям выглядит следующим образом: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Для удобства сделаем следующие замены:

• \(u = \ln x\) (тогда \(du = \frac{1}{x} dx\))
• \(dv = (x^2 - 3x) dx\) (тогда \(v = \int (x^2 - 3x) dx = \int x^2 dx - \int 3x dx = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2}\))

Теперь можем использовать формулу интегрирования по частям: \[ \int (x^2 - 3x) \ln x \, dx = \left( \ln x \right) \left( \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} \right) - \int \left( \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} \right) \cdot \frac{1}{x} \, dx \]

Упростим подынтегральное выражение: \[ \int \left( \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} \right) \cdot \frac{1}{x} \, dx = \int \left( \frac{x^3}{3x} - \frac{3x^2}{2x} \right) \, dx = \int \left( \frac{x^2}{3} - \frac{3x}{2} \right) \, dx \]

Теперь интегрируем \(\frac{x^2}{3} - \frac{3x}{2}\): \[ \int \left( \frac{x^2}{3} - \frac{3x}{2} \right) \, dx = \frac{1}{3} \int x^2 \, dx - \frac{3}{2} \int x \, dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} - \frac{3}{2} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{9} - \frac{3x^2}{4} \]

Теперь подставим все обратно в формулу интегрирования по частям: \[ \int (x^2 - 3x) \ln x \, dx = \left( \ln x \right) \left( \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} \right) - \left( \frac{x^3}{9} - \frac{3x^2}{4} \right) + C \] Таким образом, окончательная форма решения: \[ \int (x^2 - 3x) \ln x \, dx = \left( \ln x \right) \left( \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} \right) - \frac{x^3}{9} + \frac{3x^2}{4} + C \] где \(C\) - это константа интегрирования.