ычислить криволинейный интеграл второго рода

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Криволинейные интегралы

Задание:
Вычислить криволинейный интеграл второго рода:

 \int\limits_{\text{дуга OB}} x y \, dx + (y - x) \, dy, 

где путь интегрирования — дуга параболы y^2 = x от точки O(0,0) до точки B(4,2).

Шаг 1: Параметризация кривой

Дано: кривая y^2 = x.
Выразим x через y:
x = y^2

Поскольку y изменяется от 0 до 2 (так как точка B имеет координаты (4,2)), удобно параметризовать кривую по переменной y:

 \begin{cases} x(y) = y^2 \ y = y \end{cases}, \quad y \in [0, 2] 

Теперь найдём производные:

 dx = \frac{d}{dy}(y^2) \, dy = 2y \, dy 

Шаг 2: Подставим в интеграл

Подставим выражения x = y^2 и dx = 2y \, dy в интеграл:

 \int\limits_{O}^{B} x y \, dx + (y - x) \, dy = \int\limits_{y=0}^{2} \left[ (y^2)(y)(2y) + (y - y^2) \right] \, dy 

Упростим подынтегральное выражение:

 (y^2)(y)(2y) = 2y^4, \quad (y - y^2) = y - y^2 

Итак, интеграл превращается в:

 \int\limits_{0}^{2} \left(2y^4 + y - y^2\right) \, dy 

Шаг 3: Вычислим интеграл

Разобьём интеграл:

 \int\limits_{0}^{2} 2y^4 \, dy + \int\limits_{0}^{2} y \, dy - \int\limits_{0}^{2} y^2 \, dy 

Вычислим каждый из них:

1. \int\limits_{0}^{2} 2y^4 \, dy = 2 \cdot \left[\frac{y^5}{5}\right]_0^2 = 2 \cdot \frac{32}{5} = \frac{64}{5}

2. \int\limits_{0}^{2} y \, dy = \left[\frac{y^2}{2}\right]_0^2 = \frac{4}{2} = 2

3. \int\limits_{0}^{2} y^2 \, dy = \left[\frac{y^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3}

Теперь сложим:

 \frac{64}{5} + 2 - \frac{8}{3} 

Приведём к общему знаменателю:

Наименьшее общее кратное для 5 и 3 — 15:

 \frac{64}{5} = \frac{192}{15}, \quad 2 = \frac{30}{15}, \quad \frac{8}{3} = \frac{40}{15} 

Итак:

 \frac{192}{15} + \frac{30}{15} - \frac{40}{15} = \frac{182}{15} 

Ответ:

 \boxed{\frac{182}{15}}