Выяснить сходимость несобственного интеграла

Данный вопрос относится к предмету математики, а конкретно — к разделу математического анализа, занимающегося несобственными интегралами.

Интеграл, который нужно исследовать на сходимость, записан в виде: $\text{[}{\int }_2^{+\mathrm{\infty }}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx\text{]}$ Для выяснения сходимости данного интеграла нужно провести несколько шагов. Рассматриваем путь через подстановку, которая упрощает выражение под интегралом.

Шаг 1: Введем подстановку

Возьмем подстановку $\text{(}x=\sinh (t)\text{)}$, где $\text{(}t\text{)}$ — новая переменная интегрирования. Таким образом, $\text{[}dx=\cosh (t)dt\text{]}$ и $\text{[}\sqrt{x^2+1}=\sqrt{{\sinh }^2(t)+1}=\sqrt{{\cosh }^2(t)}=\cosh (t)\text{]}$

Шаг 2: Выражение интеграла в новых переменных

Теперь подставим эти значения в интеграл: $\text{[}\int \frac{\sinh (t)}{\cosh (t)}\cosh (t)dt=\int \sinh (t)dt\text{]}$ Пределы интегрирования изменяться следующим образом:

• Если $\text{(}x\text{)}$ стремится к $\text{(}2\text{)}$, то $\text{(}\sinh (t)=2\text{)}$
• Если $\text{(}x\text{)}$ стремится к $\text{(}+\mathrm{\infty }\text{)}$, то $\text{(}t\text{)}$ стремится к $\text{(}+\mathrm{\infty }\text{)}$

Шаг 3: Вычислим интеграл

Первоначально найдем неопределенный интеграл: $\text{[}\int \sinh (t)dt=-\cosh (t)\text{]}$

Шаг 4: Применим пределы интегрирования

$\text{[}{\int }_{{\sinh }^{-1}(2)}^{+\mathrm{\infty }}\sinh (t)dt=-\cosh (t){|}_{{\sinh }^{-1}(2)}^{+\mathrm{\infty }}=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}-\cosh (t)+\cosh ({\sinh }^{-1}(2))\text{]}$

Шаг 5: Исследуем сходимость

$\text{(}\text{cosh}(+\mathrm{\infty })\to +\mathrm{\infty }\text{)}$, следовательно, первая часть $\text{(}-\cosh (t)\text{)}$ при $\text{(}t\to +\mathrm{\infty }\text{)}$ стремится к $\text{(}-\mathrm{\infty }\text{)}$: $\text{[}\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}-\cosh (t)=-\mathrm{\infty }\text{]}$ $\text{(}\cosh ({\sinh }^{-1}(2))=\sqrt{({\sinh }^{-1}(2){)}^2+1}\text{)}$, так как: $\text{[}{\cosh }^2(t)-{\sinh }^2(t)=1\text{]}$ следовательно $\text{[}\cosh ({\sinh }^{-1}(2))=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\text{]}$

Заключение

Поскольку интеграл стремится к $\text{(}-\mathrm{\infty }\text{)}$, он расходится. Следовательно, несобственный интеграл: $\text{[}{\int }_2^{+\mathrm{\infty }}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx\text{]}$ является расходящимся.