Выяснить сходимость несобственного интеграла.
Данный вопрос относится к предмету математики, а конкретно — к разделу математического анализа, занимающегося несобственными интегралами.
Интеграл, который нужно исследовать на сходимость, записан в виде: Для выяснения сходимости данного интеграла нужно провести несколько шагов. Рассматриваем путь через подстановку, которая упрощает выражение под интегралом.
Шаг 1: Введем подстановку
Возьмем подстановку , где — новая переменная интегрирования. Таким образом, и
Шаг 2: Выражение интеграла в новых переменных
Теперь подставим эти значения в интеграл: Пределы интегрирования изменяться следующим образом:
- Если стремится к , то
- Если стремится к , то стремится к
Таким образом, интеграл становится:
Шаг 3: Вычислим интеграл
Первоначально найдем неопределенный интеграл:
Шаг 4: Применим пределы интегрирования
Шаг 5: Исследуем сходимость
, следовательно, первая часть при стремится к :
, так как: следовательно
Заключение
Поскольку интеграл стремится к , он расходится. Следовательно, несобственный интеграл: является расходящимся.