Выяснить сходимость несобственного интеграла

Условие:

Выяснить сходимость несобственного интеграла.

Условие: Выяснить сходимость несобственного интеграла.

Решение:

Данный вопрос относится к предмету математики, а конкретно — к разделу математического анализа, занимающегося несобственными интегралами.

Интеграл, который нужно исследовать на сходимость, записан в виде: \[2+xx2+1dx\] Для выяснения сходимости данного интеграла нужно провести несколько шагов. Рассматриваем путь через подстановку, которая упрощает выражение под интегралом.

Шаг 1: Введем подстановку

Возьмем подстановку \(x=sinh(t)\), где \(t\) — новая переменная интегрирования. Таким образом, \[dx=cosh(t)dt\] и \[x2+1=sinh2(t)+1=cosh2(t)=cosh(t)\]

Шаг 2: Выражение интеграла в новых переменных

Теперь подставим эти значения в интеграл: \[sinh(t)cosh(t)cosh(t)dt=sinh(t)dt\] Пределы интегрирования изменяться следующим образом:

  • Если \(x\) стремится к \(2\), то \(sinh(t)=2\)
  • Если \(x\) стремится к \(+\), то \(t\) стремится к \(+\)
Таким образом, интеграл становится: \[sinh1(2)+sinh(t)dt\]

Шаг 3: Вычислим интеграл

Первоначально найдем неопределенный интеграл: \[sinh(t)dt=cosh(t)\]

Шаг 4: Применим пределы интегрирования

\[sinh1(2)+sinh(t)dt=cosh(t)|sinh1(2)+=limt+cosh(t)+cosh(sinh1(2))\]

Шаг 5: Исследуем сходимость

\(cosh(+)+\), следовательно, первая часть \(cosh(t)\) при \(t+\) стремится к \(\): \[limt+cosh(t)=\] \(cosh(sinh1(2))=(sinh1(2))2+1\), так как: \[cosh2(t)sinh2(t)=1\] следовательно \[cosh(sinh1(2))=4+1=5\]

Заключение

Поскольку интеграл стремится к \(\), он расходится. Следовательно, несобственный интеграл: \[2+xx2+1dx\] является расходящимся.

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Узнайте стоимость работы онлайн

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн
Напишем БЕСПЛАТНО любую работу за 30 минут