Выяснить сходимость несобственного интеграла

Данный вопрос относится к предмету математики, а конкретно — к разделу математического анализа, занимающегося несобственными интегралами.

Интеграл, который нужно исследовать на сходимость, записан в виде: \[ \int_{2}^{+\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx \] Для выяснения сходимости данного интеграла нужно провести несколько шагов. Рассматриваем путь через подстановку, которая упрощает выражение под интегралом.

Шаг 1: Введем подстановку

Возьмем подстановку \( x = \sinh(t) \), где \( t \) — новая переменная интегрирования. Таким образом, \[ dx = \cosh(t) \, dt \] и \[ \sqrt{x^2 + 1} = \sqrt{\sinh^2(t) + 1} = \sqrt{\cosh^2(t)} = \cosh(t) \]

Шаг 2: Выражение интеграла в новых переменных

Теперь подставим эти значения в интеграл: \[ \int \frac{\sinh(t)}{\cosh(t)} \cosh(t) \, dt = \int \sinh(t) \, dt \] Пределы интегрирования изменяться следующим образом:

• Если \( x \) стремится к \( 2 \), то \( \sinh(t) = 2 \)
• Если \( x \) стремится к \( +\infty \), то \( t \) стремится к \( +\infty \)

Шаг 3: Вычислим интеграл

Первоначально найдем неопределенный интеграл: \[ \int \sinh(t) \, dt = -\cosh(t) \]

Шаг 4: Применим пределы интегрирования

\[ \int_{\sinh^{-1}(2)}^{+\infty} \sinh(t) \, dt = -\cosh(t) \Bigg|_{\sinh^{-1}(2)}^{+\infty} = \lim_{t \to +\infty} -\cosh(t) + \cosh(\sinh^{-1}(2)) \]

Шаг 5: Исследуем сходимость

\(\text{cosh}(+\infty) \rightarrow +\infty \), следовательно, первая часть \( -\cosh(t) \) при \( t \rightarrow +\infty \) стремится к \( -\infty \): \[ \lim_{t \to +\infty} -\cosh(t) = -\infty \] \(\cosh(\sinh^{-1}(2)) = \sqrt{(\sinh^{-1}(2))^2 + 1}\), так как: \[ \cosh^2(t) - \sinh^2(t) = 1 \] следовательно \[ \cosh(\sinh^{-1}(2))=\sqrt{4+1} = \sqrt{5} \]

Заключение

Поскольку интеграл стремится к \( -\infty \), он расходится. Следовательно, несобственный интеграл: \[ \int_{2}^{+\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx \] является расходящимся.