Выразить dv и затем подставить в интеграл

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление

Рассмотрим данный интеграл:
\int \frac{dv}{3 + 2e^y},
где v = x + 2y.

Поскольку переменная v выражена через x и y, нам нужно выразить dv и затем подставить в интеграл.

Дифференцируем выражение v = x + 2y:
dv = 2 dy.

Теперь подставим это в интеграл:
\int \frac{2 dy}{3 + 2e^y}.

Вынесем множитель 2:
2 \int \frac{dy}{3 + 2e^y}.

Рассмотрим подстановку t = 3 + 2e^y, тогда
dt = 2e^y dy,
что означает
dy = \frac{dt}{2e^y}.

Так как e^y = \frac{t - 3}{2}, то
dy = \frac{dt}{t - 3}.

Подставим это в интеграл:
2 \int \frac{dt}{(t - 3)(3 + 2e^y)}.

Так как 3 + 2e^y = t, то интеграл принимает вид:
2 \int \frac{dt}{t (t - 3)}.

Решаем этот интеграл методом разложения на простейшие дроби. Представим:
\frac{1}{t (t - 3)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t - 3}.

Решая уравнение для A и B, получаем:
A = \frac{1}{3}, B = -\frac{1}{3}.

Тогда интеграл принимает вид:
2 \int \left( \frac{1}{3t} - \frac{1}{3(t - 3)} \right) dt.

Интегрируем:
2 \left( \frac{1}{3} \ln |t| - \frac{1}{3} \ln |t - 3| \right) = \frac{2}{3} \ln \left| \frac{t}{t - 3} \right|.

Возвращаемся к t = 3 + 2e^y:
\frac{2}{3} \ln \left| \frac{3 + 2e^y}{2e^y} \right| = \frac{2}{3} \ln \left| \frac{3 + 2e^y}{2e^y} \right| + C.

Таким образом, окончательный ответ:
\frac{2}{3} \ln \left| \frac{3 + 2e^y}{2e^y} \right| + C.