Выполнить тригонометрическую подстановку

Данное задание – это интеграл из области математики, точнее из раздела математического анализа, и ещё более точно - из раздела интегрирования. Он включает в себя тригонометрические функции.

Для решения предложенного интеграла можно использовать метод тригонометрической подстановки. Однако, в данном случае обычно удобнее использовать подход, основанный на свойствах тригонометрических функций и их производных. Такой способ часто называют методом подстановки или замены переменной. Попробуем решить этот интеграл: \[ I = \int \frac{\sin x \cos x}{1 + \sin^4 x} dx \]

Заметим, что знаменатель можно переписать как: \[ 1 + \sin^4 x = (1 + \sin^2 x)^2 - 2\sin^2 x \]

Теперь, используя основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), выразим \( \sin^2 x \) через \( \cos^2 x \):

\[ 1 + \sin^4 x = (1 + (1 - \cos^2 x))^2 - 2(1 - \cos^2 x) \]

\[ 1 + \sin^4 x = (2 - \cos^2 x)^2 - 2 + 2\cos^2 x \]

\[ 1 + \sin^4 x = 4 - 4\cos^2 x + \cos^4 x - 2 + 2\cos^2 x \]

\[ 1 + \sin^4 x = \cos^4 x - 2\cos^2 x + 2 \]

Теперь можно применить подстановку \( u = \cos^2 x \), откуда \( du = -2\sin x \cos x dx \). Тогда \( \frac{-1}{2}du = \sin x \cos x dx \) и исходный интеграл принимает вид:

\[ I = -\frac{1}{2} \int \frac{du}{u^2 - 2u + 2} \]

Это интеграл от дробно-рациональной функции, который можно решить методом выделения полного квадрата в знаменателе и дальнейшим применением формул интегрирования. Полученный выше знаменатель \( u^2 - 2u + 2 \) можно представить в виде:

\[ u^2 - 2u + 1 + 1 = (u - 1)^2 + 1 \]

Теперь замена в интеграле примет вид:

\[ I = -\frac{1}{2} \int \frac{du}{(u - 1)^2 + 1} \]

Это интеграл от функции, обратной квадрату суммы, который решается через арктангенс:

\[ I = -\frac{1}{2} \arctan(u - 1) + C \]

Не забываем про замену \( u = \cos^2 x \):

\[ I = -\frac{1}{2} \arctan(\cos^2 x - 1) + C \]

\[ I = -\frac{1}{2} \arctan((1 - \sin^2 x) - 1) + C \]

\[ I = -\frac{1}{2} \arctan(1 - 2\sin^2 x) + C \]

Теперь мы можем оставить ответ в таком виде, или, если необходимо, сделать ещё одну замену, чтобы выразить все через оригинальную переменную \( x \). Например:

\[ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \]

Тогда:

\[ I = -\frac{1}{2} \arctan(1 - 2\frac{1 - \cos 2x}{2}) + C \]

\[ I = -\frac{1}{2} \arctan(\cos 2x) + C \]

Это окончательный результат интегрирования.