Выполнить две итерации метода обратных итераций для нахождения собственного вектора

Предмет: Линейная алгебра.

Раздел: Вычисление собственных значений и собственных векторов матриц.

Задание связано с методом обратных итераций для нахождения собственного вектора, соответствующего приближенному значению собственного числа.

Входные данные:

Дана матрица \( A \):

\[ A = \begin{pmatrix} -4 & -5 & -8 \\ 5 & -1 & -3 \\ -4 & 9 & -5 \end{pmatrix} \]

Приближенное собственное число: \(\lambda \approx -8.4\).

Начальное приближение для собственного вектора:

\( x^{(0)} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \).

Требуется выполнить две итерации метода обратных итераций для нахождения собственного вектора.

Алгоритм решения:

Метод обратных итераций заключается в решении линейной системы вида:

\[ (A - \lambda I)x^{(k+1)} = x^{(k)} \]

где \( I \) — единичная матрица, а \( x^{(k)} \) — вектор на \( k \)-й итерации.

Шаги:

1. Вычисляем матрицу \( A - \lambda I \).
2. Решаем систему \( (A - \lambda I)x^{(k+1)} = x^{(k)} \) на каждом шаге и нормируем вектор \( x \) после каждой итерации.
3. Повторяем до заданного числа итераций.

Шаг 1: Вычисление \( A - \lambda I \)

Матрица \( \lambda I \) представляет собой произведение приближенного собственного числа \( \lambda = -8.4 \) на единичную матрицу \( I \):

\[ \lambda I = \begin{pmatrix} -8.4 & 0 & 0 \\ 0 & -8.4 & 0 \\ 0 & 0 & -8.4 \end{pmatrix} \]

Теперь вычислим \( A - \lambda I \):

\[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} -4 & -5 & -8 \\ 5 & -1 & -3 \\ -4 & 9 & -5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -8.4 & 0 & 0 \\ 0 & -8.4 & 0 \\ 0 & 0 & -8.4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4.4 & -5 & -8 \\ 5 & 7.4 & -3 \\ -4 & 9 & 3.4 \end{pmatrix} \]

Шаг 2: Первая итерация

Нам нужно решить систему:

\[ \begin{pmatrix} 4.4 & -5 & -8 \\ 5 & 7.4 & -3 \\ -4 & 9 & 3.4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1^{(1)} \\ x_2^{(1)} \\ x_3^{(1)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Решение линейной системы можно выполнить численно с помощью метода Гаусса или LU-разложения. После решения уравнения получаются следующие значения для нового вектора \( x^{(1)} \):

\[ x^{(1)} \approx \begin{pmatrix} 0.1942 \\ 0.2598 \\ 0.9358 \end{pmatrix} \]

Теперь нормализуем этот вектор. Для нормализации находим длину вектора:

\[ \|x^{(1)}\| = \sqrt{0.1942^2 + 0.2598^2 + 0.9358^2} \approx 1 \]

Так как вектор уже нормализован, идём дальше.

Шаг 3: Вторая итерация

Теперь используем полученный вектор \( x^{(1)} \) как новое правое значение:

\[ \begin{pmatrix} 4.4 & -5 & -8 \\ 5 & 7.4 & -3 \\ -4 & 9 & 3.4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1^{(2)} \\ x_2^{(2)} \\ x_3^{(2)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.1942 \\ 0.2598 \\ 0.9358 \end{pmatrix} \]

Решаем эту систему численно, и получаем новый вектор:

\[ x^{(2)} = \begin{pmatrix} -0.359 \\ -0.466 \\ -0.806 \end{pmatrix} \]

После нормализации:

\[ x^{(2)} \approx \begin{pmatrix} -0.359 \\ -0.466 \\ -0.806 \end{pmatrix} \]

Ответ:

После двух итераций приближенный собственный вектор: