Вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями :y=x^2, y=-(x-3)(x-5), y=0, y=1

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (определённые интегралы, площадь между кривыми)

Задание:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми:

• y = x^2
• y = -(x - 3)(x - 5)
• y = 0
• y = 1

Шаг 1: Найдём точки пересечения функций

Рассмотрим уравнение: x^2 = -(x - 3)(x - 5)

Раскроем скобки справа: -(x - 3)(x - 5) = -(x^2 - 8x + 15) = -x^2 + 8x - 15

Получаем уравнение: x^2 = -x^2 + 8x - 15

Переносим всё в одну сторону: 2x^2 - 8x + 15 = 0

Решим квадратное уравнение: D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 15 = 64 - 120 = -56

Дискриминант отрицательный, значит, графики не пересекаются.

Шаг 2: Построим графики и найдём область, ограниченную кривыми

У нас есть:

• y = x^2 — парабола, ветви вверх
• y = -(x - 3)(x - 5) — парабола, ветви вниз, с нулями в точках x = 3 и x = 5
• y = 0 — ось Ox
• y = 1 — горизонтальная прямая

Нас интересует область между графиками, ограниченная снизу y = 0, сверху y = 1.

Найдём, при каких значениях x функции пересекают прямую y = 1.

Для y = x^2:

x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1

Для y = -(x - 3)(x - 5):

-(x - 3)(x - 5) = 1

Решим: (x - 3)(x - 5) = -1

Раскроем скобки: x^2 - 8x + 15 = -1 \Rightarrow x^2 - 8x + 16 = 0

Найдём корни: D = 64 - 64 = 0 \Rightarrow x = \frac{8}{2} = 4

Шаг 3: Определим границы интегрирования

• Для y = x^2: от x = -1 до x = 1
• Для y = -(x - 3)(x - 5): от x = 3 до x = 5, но только та часть, где y \leq 1 — это от x = 3 до x = 5 (график ниже y=1)

Шаг 4: Вычислим площадь

Область под y = x^2 от x = -1 до x = 1 между y = 0 и y = 1

Площадь между y = 1 и y = x^2:  S_1 = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) \, dx 

Вычислим:  \int_{-1}^{1} 1 \, dx = 2, \quad \int_{-1}^{1} x^2 \, dx = \frac{2}{3} 

 S_1 = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3} 

Область под y = -(x - 3)(x - 5) от x = 3 до x = 5

Площадь между y = 1 и y = -(x - 3)(x - 5):  S_2 = \int_{3}^{5} \left(1 + (x - 3)(x - 5) \right) dx 

Раскроем скобки: (x - 3)(x - 5) = x^2 - 8x + 15

Тогда:  S_2 = \int_{3}^{5} \left(1 + x^2 - 8x + 15 \right) dx = \int_{3}^{5} (x^2 - 8x + 16) dx 

Вычислим:  \int x^2 dx = \frac{x^3}{3}, \quad \int x dx = \frac{x^2}{2}, \quad \int 16 dx = 16x 

Подставим пределы:  S_2 = \left[\frac{x^3}{3} - 4x^2 + 16x \right]_{3}^{5} 

В точке 5: \frac{125}{3} - 4 \cdot 25 + 80 = \frac{125}{3} - 100 + 80 = \frac{125}{3} - 20 = \frac{125 - 60}{3} = \frac{65}{3}

В точке 3: \frac{27}{3} - 4 \cdot 9 + 48 = 9 - 36 + 48 = 21

Разность: S_2 = \frac{65}{3} - 21 = \frac{65 - 63}{3} = \frac{2}{3}

Ответ:

S = S_1 + S_2 = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = \frac{6}{3} = 2

Итог:
Площадь фигуры равна 2 (единицы площади). ✅