Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=х²-9 и у=0

Определение предмета и раздела

Предмет: Математика (Аналитическая геометрия)

Раздел: Интегральное исчисление, тема – Выделение площади фигуры, ограниченной кривыми

Условие задачи

Необходимо вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой \( y = x^2 - 9 \) и осью абсцисс \( y = 0 \).

Шаг 1. Определение точек пересечения

Кривая \( y = x^2 - 9 \) и прямая \( y = 0 \) задают область для вычисления площади. Для нахождения границ этой области нужно найти точки пересечения этих двух уравнений.

1. Приравняем функции: \[ x^2 - 9 = 0 \]
2. Решим уравнение: \[ x^2 = 9 \] \[ x = \pm 3 \]

Точки пересечения — это \( x = -3 \) и \( x = 3 \). Следовательно, площадь фигуры находится на отрезке \( x \in [-3, 3] \).

Шаг 2. Построение интеграла

Область, ограниченная кривой и осью \( y = 0 \), представляет собой график параболы, у которой ветви направлены вверх, а фигура симметрична относительно оси \( y \). Чтобы найти площадь под кривой, нужно вычислить определённый интеграл функции от точки \( x = -3 \) до точки \( x = 3 \). Функция, под которой ищется площадь, — это положительное расстояние между кривой и осью \( y = 0 \): \[ S = \int_{-3}^{3} (9 - x^2) \, dx \]

Шаг 3. Вычисление интеграла

Сначала раскроем функцию, подлежащую интегрированию: \[ S = \int_{-3}^{3} (9 - x^2) \, dx \]

1. Интегрируем каждый член отдельно: \[ \int (9 - x^2) \, dx = \int 9 \, dx - \int x^2 \, dx \]
2. Интегрируем поэлементно: \[ \int 9 \, dx = 9x \] \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \]
3. Подставляем результат: \[ S = \left[ 9x - \frac{x^3}{3} \right]_{-3}^{3} \]
4. Теперь вычислим значения на границах интегрирования: Для \( x = 3 \): \[ 9 \cdot 3 - \frac{3^3}{3} = 27 - \frac{27}{3} = 27 - 9 = 18 \] Для \( x = -3 \): \[ 9 \cdot (-3) - \frac{(-3)^3}{3} = -27 - \frac{-27}{3} = -27 + 9 = -18 \]
5. Найдем разницу между значениями на верхнем и нижнем пределах: \[ S = 18 - (-18) = 36 \]

Ответ задачи:

Площадь фигуры, ограниченной параболой \( y = x^2 - 9 \) и осью \( y = 0 \), равна \( 36 \) квадратных единиц.