Предмет: Математика (раздел: Интегральное исчисление, определённые интегралы)
Задание: Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой \( y = e^x \), прямыми \( x = 0 \), \( x = \ln 5 \) и осью \( y = 0 \) (осью абсцисс).
Шаги решения:
Площадь фигуры, ограниченной графиком функции и осями, можно вычислить с помощью определённого интеграла.
- Функция: Фигура ограничена графиком функции \( y = e^x \).
- Границы: Из условия задачи видно, что ограничение по оси \( x \) задаётся от \( x = 0 \) до \( x = \ln 5 \). Кроме того, есть ограничение по оси абсцисс \( y = 0 \), которая тоже является границей для вычисления площади.
- Формула для площади: Площадь под кривой от \( x = a \) до \( x = b \), вычисляется как интеграл функции \( y \) от \( a \) до \( b \):
\[ S = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
В нашем случае:
\[ S = \int_{0}^{\ln 5} e^x \, dx \]
- Вычислим интеграл: Интеграл от \( e^x \) равен самому \( e^x \):
\[ \int e^x \, dx = e^x \]
Подставим границы интегрирования:
\[ S = \left[ e^x \right]_{0}^{\ln 5} \]
\[ S = e^{\ln 5} - e^0 \]
- Упрощаем выражение: Напомним, что \( e^{\ln 5} = 5 \) и \( e^0 = 1 \), следовательно:
\[ S = 5 - 1 = 4 \]
Ответ: Площадь фигуры равна 4.