Вычислите площадь фигуры ограниченной данными линиями

Определим предмет и раздел предмета для данного задания.

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление

Теперь решим поставленную задачу. Нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной кривыми \(y = x^2 - 6x + 9\) и \(y = 5 - x\).

Шаг 1: Найдем точки пересечения

Чтобы найти точки пересечения, приравняем \(y\):

\[ x^2 - 6x + 9 = 5 - x \]

Перенесем все члены в одну сторону уравнения:

\[ x^2 - 6x + 9 - (5 - x) = 0 \]

Приведем подобные члены:

\[ x^2 - 6x + 9 - 5 + x = 0 \]

\(x^2 - 5x + 4 = 0\)

Решим квадратное уравнение:

\[ x^2 - 5x + 4 = 0 \]

Решим методом дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \]

\[ D = (-5)^2 - 4(1)(4) \]

\[ D = 25 - 16 \]

\[ D = 9 \]

Найдем корни:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} \]

\[ x_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{2} \]

Таким образом, корни:

\[ x_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4 \]

\[ x_2 = \frac{5 - 3}{2} = 1 \]

Шаг 2: Вычислим интеграл для нахождения площади

Теперь, когда мы знаем пределы интегрирования \(x = 1\) и \(x = 4\), построим нужный интеграл. Сначала определим функцию, которая находится выше в данном интервале. Для этого подставим значения \(x = 2.5\) (середину интервала) в обе функции:

\[ y_1 = (2.5)^2 - 6 \cdot 2.5 + 9 = 6.25 - 15 + 9 = 0.25 \]

\[ y_2 = 5 - 2.5 = 2.5 \]

Очевидно, что в этом интервале \(y = 5 - x\) выше, чем \(y = x^2 - 6x + 9\). Запишем интеграл:

\[ \text{Площадь} = \int_{1}^{4} [(5 - x) - (x^2 - 6x + 9)] \, dx \]

Упростим подынтегральное выражение:

\[ = \int_{1}^{4} [5 - x - x^2 + 6x - 9] \, dx \]

\[ = \int_{1}^{4} [-x^2 + 5x - 4] \, dx \]

Шаг 3: Вычислим интеграл

Рассчитаем неопределенный интеграл:

\[ \int (-x^2 + 5x - 4) \, dx \]

Для этого вычислим первообразные функций:

\[ \int -x^2 \, dx = -\frac{x^3}{3} \]

\[ \int 5x \, dx = \frac{5x^2}{2} \]

\[ \int -4 \, dx = -4x \]

Теперь сложим все первообразные:

\[ \int_{1}^{4} (-x^2 + 5x - 4) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x \right]_{1}^{4} \]

Подставим пределы интегрирования \(x = 4\) и \(x = 1\):

\[ = \left( -\frac{4^3}{3} + \frac{5 \cdot 4^2}{2} - 4 \cdot 4 \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + \frac{5 \cdot 1^2}{2} - 4 \cdot 1 \right) \]

Посчитаем значения отдельно для \(x = 4\) и \(x = 1\):

\[ = \left( -\frac{64}{3} + \frac{80}{2} - 16 \right)