Вычислите объём тела, образованного вращением вокруг оси OX фигур, ограниченных линиями

Данное задание относится к предмету математика, а конкретнее к его разделу интегральное исчисление. Ведь мы решаем задачу на вычисление объёма тела вращения.

Определим тело вращения

Нам даны две кривые:

1. \(y^2 = 8x\) — это парабола, открытая вправо (квадрату \(y\) соответствует положительный \(x\));
2. \(y = x^2\) — это стандартная парабола, открытая вверх.

Мы вращаем область, заключенную между этими кривыми, вокруг оси \(OX\), чтобы найти объем этого тела вращения.

Найдем области пересечения кривых

Чтобы определить пределы интегрирования (участок, на котором эти две кривые заключают фигуру), нужно найти точки пересечения этих двух кривых. Для этого приравняем их друг к другу.

\[ y^2 = 8x \quad \text{и} \quad y = x^2. \]

Подставляем \(y = x^2\) во второе уравнение:

\[ (x^2)^2 = 8x \quad \Rightarrow \quad x^4 = 8x. \]

Для нахождения корней этого уравнения перенесём все члены в одну сторону:

\[ x^4 - 8x = 0. \]

Вынесем \(x\) за скобку:

\[ x(x^3 - 8) = 0. \]

Следовательно, \(x = 0\) или \(x^3 = 8\). Из последнего получаем \(x = 2\).

Точки пересечения: \(x = 0\) и \(x = 2\).

Определим нужную формулу

Для вычисления объёма тела вращения вокруг оси \(OX\) используется интеграл в виде:

\[ V = \pi \int_{a}^{b} \left( f(x)^2 - g(x)^2 \right) \, dx, \]

где \(f(x)\) — верхняя функция, а \(g(x)\) — нижняя функция на том участке, где кривые замыкают область.

Заметим, что:

• \(y = \sqrt{8x}\) (эквивалентное уравнение параболы \(y^2 = 8x\)) лежит выше для \(x\) в пределах [0, 2],
• \(y = x^2\) (парабола \(y = x^2\)) лежит ниже.

Запишем объем

Наш объем будет вычисляться как разность квадратов функций:

\[ V = \pi \int_0^2 \left( (\sqrt{8x})^2 - (x^2)^2 \right) \, dx. \]

Упрощаем выражения:

\[ V = \pi \int_0^2 \left( 8x - x^4 \right) \, dx. \]

Вычисляем интеграл

Теперь можно посчитать сам интеграл:

\[ V = \pi \left[ \int_0^2 8x \, dx - \int_0^2 x^4 \, dx \right]. \]

1. Интеграл от \( 8x \):
   \[ \int 8x \, dx = 8 \cdot \frac{x^2}{2} = 4x^2. \]
2. Интеграл от \( x^4 \):
   \[ \int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5}. \]

Теперь подставим пределы интегрирования:

\[ V = \pi \left[ 4x^2 \Big|_0^2 - \frac{x^5}{5} \Big|_0^2 \right]. \]

Подставляем \(x = 2\) и \(x = 0\):

1. \( 4x^2 \Big|_0^2 = 4 \cdot (2^2 - 0^2) = 16 \).
2. \( \frac{x^5}{5} \Big|_0^2 = \frac{2^5}{5} = \frac{32}{5} \).

Таким образом:

\[ V = \pi \left( 16 - \frac{32}{5} \right) = \pi \left( \frac{80}{5} - \frac{32}{5} \right) = \pi \cdot \frac{48}{5}. \]

Ответ

Объём тела, образованного вращением фигуры вокруг оси \(OX\), равен \( \frac{48\pi}{5} \).