Вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями

Это задание из раздела математического анализа, где требуется вычислить объем тела в трехмерном пространстве.

Для решения задачи нахождения объема фигуры, ограниченной поверхностями, удобно использовать тройные интегралы в декартовых, цилиндрических или сферических координатах. Выбор системы координат основывается на симметрии ограничивающих поверхностей. Однако, перед тем как перейти к интегрированию, нам нужно понять границы интегрирования и выразить их через переменные. Из уравнений, представленных в задании, видно, что y задана в двух формах:

1. y = 16\sqrt{2x}
2. y = \sqrt{2x}

Эти уравнения представляют собой параболические цилиндры. Также дано уравнение z = 0, которое является уравнением плоскости XY, и уравнение x + z = 2, которое представляет плоскость, пересекающую оси X и Z.

Для вычисления объема тела, ограниченного этими поверхностями, можно применить следующий метод:

1. Определить границы интегрирования для x, y и z.
2. Выразить y через x для использования в пределах интегрирования.
3. Установить соотношение между z и x. Поскольку x + z = 2, то z = 2 - x.

Для y у нас есть два уравнения, и меньшее значение y будет нижней границей, а большее - верхней:

• Нижняя граница: y = \sqrt{2x}
• Верхняя граница: y = 16\sqrt{2x}

Объем тела ограничен снизу плоскостью z = 0 и сверху плоскостью z = 2 - x. Теперь объем тела V можно найти по формуле:

V = \int_{0}^{2}\int_{\sqrt{2x}}^{16\sqrt{2x}}\int_{0}^{2-x} dzdydx

Решите внутренний интеграл по z:

\int_{0}^{2-x} dz = z \Big|_{0}^{2-x} = (2 - x) - 0 = 2 - x

Теперь объем будет:

V = \int_{0}^{2}\int_{\sqrt{2x}}^{16\sqrt{2x}} (2 - x) dydx

Вы решаете следующий интеграл по y:

V = \int_{0}^{2} \left( y (2 - x) \Big|_{\sqrt{2x}}^{16\sqrt{2x}} \right) dx

V = \int_{0}^{2} \left( (16\sqrt{2x})(2 - x) - (\sqrt{2x})(2 - x) \right) dx

V = \int_{0}^{2} \left( 32\sqrt{2x} - 16x\sqrt{2x} - 2\sqrt{2x} + x\sqrt{2x} \right) dx

V = \int_{0}^{2} ( 30\sqrt{2x} - 15x\sqrt{2x} ) dx

Теперь делаем замену u = \sqrt{2x}, отсюда x = \frac{u^2}{2}, и dx = \frac{2du}{\sqrt{2}}. Пределы интегрирования для u будут от 0 до \sqrt{4}, то есть от 0 до 2.

V = \int_{0}^{2} ( 30u - 15\frac{u^3}{2} ) \frac{2du}{\sqrt{2}}

V = \frac{2}{\sqrt{2}} \int_{0}^{2} ( 30u - \frac{15}{2}u^3 ) du

V = \sqrt{2} \left( 15u^2 - \frac{15}{8}u^4 \right) \Big|_{0}^{2}

V = \sqrt{2} \left( 15\cdot 2^2 - \frac{15}{8}\cdot 2^4 \right)

V = \sqrt{2} \left( 60 - \frac{15}{8}\cdot 16 \right)

V = \sqrt{2} \left( 60 - 30 \right)

V = 30\sqrt{2} кубических единиц.

Обратите внимание, что в решении есть упрощения. Задача может решаться по-разному в зависимости от используемого метода и выбора системы координат. Подход с использованием цилиндрических или сферических координат может быть более приемлемым в зависимости от формы тела и симметрии границ.