Вычислите объем тела образованного выражением вокруг оси ох фигуры ограниченной линиями

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление, вычисление объемов тел вращения

Для нахождения объема тела, образованного вращением кривой вокруг оси ( Ox ), используем метод дисков (или цилиндрических слоев). Формула для объема вращения вокруг оси ( Ox ) имеет вид:

 V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx 

Дано:

Кривая:  y = 3 - x 
Ограничения:  x = 0 ,  y = 0 

Найдем пределы интегрирования. При  y = 0 :
 3 - x = 0 \Rightarrow x = 3 
Значит, интеграл вычисляется на отрезке  [0,3] .

Подставляем в формулу:

 V = \pi \int_{0}^{3} (3 - x)^2 dx 

Разворачиваем квадрат:

 V = \pi \int_{0}^{3} (9 - 6x + x^2) dx 

Вычисляем интеграл:

 V = \pi \left[ 9x - 3x^2 + \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} 

Подставляем пределы:

 V = \pi \left( (9 \cdot 3 - 3 \cdot 9 + \frac{27}{3}) - (0) \right) 

 V = \pi (27 - 9 + 9) 

 V = \pi \cdot 27 

 V = 27\pi 

Ответ:  27\pi  cubic units.