Вычислите объем тела, измеряемый этими поверхностями

Предмет: Математика (Математический анализ, аналитическая геометрия)

Раздел: Интегральное исчисление, многомерные интегралы, вычисление объемов с помощью двойных и тройных интегралов.

---

Шаг 1. Выясним форму тела.

Данное уравнение: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \] напоминает уравнение эллипса в плоскости \( xz \), где \( a \) и \( c \) — полуоси эллипса.

Дополнительные условия:

• \( y = -\frac{b}{a}x \)
• \( y = 0 \)
• \( z = 0 \)

означают, что тело ограничено плоскостями \( y = 0 \), \( z = 0 \), а также поверхностью через наличие зависимости \( y \) от \( x \).

Рассмотрим тело, ограниченное эллипсом в плоскости \( xz \), и построим объем над этим эллипсом — объем параллелепипеда, с наклонной гранью, заданной уравнением \( y = -\frac{b}{a}x \).

Шаг 2. Найдем пределы интегрирования.

1. Из уравнения эллипса на плоскости \( xz \) видим, что при любом фиксированном \( z \) на плоскости \( z = 0 \) форма будет эллипсом с уравнением \( \frac{x^2}{a^2}+1 = 1 \).
2. Нам нужно вычислить объем подобного тела. Поскольку это тело "наклонено", для определения объема нужно установить границы по оси \( x \), \( y \) и \( z \).
   • По оси \( x \) границы идут от \(-a\) до \( a \).
   • По оси \( z \) границы зависят от точки на \( x \)-оси, зависят от текущего значения \( x \) и ограничены тем же уравнением эллипса.

Шаг 3. Выполним параметризацию.

Запишем тройной интеграл для вычисления объема тела.

\[ V = \int_{z=0}^{z=c} \int_{x=-a}^{x=a} \int_{y=0}^{y=-\frac{b}{a}x} dy \, dx \, dz \]

Проинтегрируем сначала по \( y \):

\[ \int_{0}^{-\frac{b}{a}x} dy = -\frac{b}{a}x \]

Теперь получаем выражение для объема в виде двойного интеграла по \( x \) и \( z \):

\[ V = \int_{z=0}^{z=c} \int_{x=-a}^{x=a} -\frac{b}{a}x \, dx \, dz \]

Поскольку \( x \) будет как отрицательный, так и положительный, итоговый интеграл даст ноль из-за симметрии по \( x \). На этом этапе видно, что можно заключить:

\[ V = 0 \]

Ответ: \( V = 0 \)

Значит, объем тела, ограниченного этими поверхностями, равен нулю.