Вычислите массу неоднородного тела, ограниченного поверхностями

Предмет: Математика

Раздел: Многократные интегралы, вычисление массы тела

Нам необходимо вычислить массу неоднородного тела, ограниченного поверхностями:

• x^2 + y^2 = 4
• y^2 + x^2 = 4z
• z = 0
• x = 0
• y = 0
• x, y \geq 0

и с плотностью \mu = 5y.

Шаг 1: Определение массы тела

Масса неоднородного тела вычисляется с помощью тройного интеграла:

 M = \iiint\limits_V \mu(x, y, z) \, dV. 

Так как плотность задана как \mu = 5y, то:

 M = \iiint\limits_V 5y \, dV. 

Шаг 2: Переход в цилиндрические координаты

Так как область ограничена цилиндром x^2 + y^2 = 4, удобно перейти в цилиндрические координаты:

 x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad z = z. 

Якобиан перехода:

 dV = r \, dr \, d\theta \, dz. 

Плотность в новых координатах:

 \mu = 5y = 5r\sin\theta. 

Шаг 3: Определение пределов интегрирования

• Радиус изменяется от 0 до 2 (из условия x^2 + y^2 = 4).
• Угол \theta изменяется от 0 до \frac{\pi}{2} (так как рассматриваем только первую четверть x, y \geq 0).
• Высота z изменяется от 0 до \frac{r^2}{4} (из уравнения y^2 + x^2 = 4z, то есть z = \frac{r^2}{4}).

Шаг 4: Запись интеграла

 M = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \int\limits_0^2 \int\limits_0^{\frac{r^2}{4}} 5r\sin\theta \cdot r \, dz \, dr \, d\theta. 

Шаг 5: Вычисление интегралов

1. Вычислим интеграл по z:
    \int\limits_0^{\frac{r^2}{4}} 5r^2\sin\theta \, dz = 5r^2\sin\theta \cdot \frac{r^2}{4} = \frac{5}{4} r^4 \sin\theta. 

2. Теперь интегрируем по r:
    \int\limits_0^2 \frac{5}{4} r^4 \sin\theta \, dr. 

Вычислим:
 \frac{5}{4} \sin\theta \int\limits_0^2 r^4 \, dr = \frac{5}{4} \sin\theta \cdot \frac{2^5}{5} = \frac{5}{4} \sin\theta \cdot \frac{32}{5} = \frac{32}{4} \sin\theta = 8\sin\theta. 

3. Осталось интегрировать по \theta:
    \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} 8\sin\theta \, d\theta. 

Вычислим:
 -8\cos\theta \Big|_0^{\frac{\pi}{2}} = -8(\cos\frac{\pi}{2} - \cos 0) = -8(0 - 1) = 8. 

Ответ

Масса тела равна 8.

 M = 8.