Вычислите криволинейный интеграл xdy по формуле Грина, где L - треугольник со сторонами на прямых y=x, y=0, x=2, обход против часовой стрелки

Предмет: Математика
Раздел: Векторный анализ, Криволинейные интегралы, Теорема Грина

Задание:

Вычислить криволинейный интеграл
 \oint_{L} x\,dy 
где L — граница треугольника с вершинами на прямых:
y = x,
y = 0,
x = 2,
обход — против часовой стрелки.

Решение:

Для вычисления криволинейного интеграла первого рода с помощью формулы Грина, используем:

 \oint_{L} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx\,dy 

В нашем случае:

• P(x,y) = 0
• Q(x,y) = x

Значит, по формуле Грина:

 \oint_{L} x\,dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial 0}{\partial y} \right) dx\,dy = \iint_{D} 1\,dx\,dy 

То есть криволинейный интеграл равен площади области D, ограниченной заданным треугольником.

Геометрическое описание области:

Треугольник ограничен:

• снизу: y = 0
• слева: y = x
• справа: x = 2

Найдем вершины треугольника:

1. Пересечение y = 0 и x = 2: точка (2, 0)
2. Пересечение y = x и x = 2: точка (2, 2)
3. Пересечение y = x и y = 0: точка (0, 0)

Значит, треугольник с вершинами:
(0, 0), (2, 0), (2, 2)

Вычислим площадь треугольника:

Можно просто использовать формулу площади треугольника:

 S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2 

Ответ:

 \oint_{L} x\,dy = \iint_{D} 1\,dx\,dy = 2 

Ответ: 2