Вычислите интеграл с точностью до 0,001. Укажите наименьшееколичество слагаемых, необходимое для вычисления интеграла с такой точностью

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Численное интегрирование, Ряды Тейлора

Нам нужно вычислить интеграл:

 \int_0^{0.5} \frac{1 - \cos 2x}{x} \, dx 

с точностью до 0.001.

Шаг 1: Анализ функции

Функция под интегралом:

 f(x) = \frac{1 - \cos 2x}{x} 

имеет особенность при x = 0, так как знаменатель обращается в ноль. Однако числитель тоже стремится к нулю, так что это устранимая особенность. Мы можем разложить числитель в ряд Тейлора, чтобы обойти сингулярность.

Шаг 2: Разложение \cos 2x в ряд Тейлора

Вспомним, что:

 \cos 2x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2x)^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^{2n} x^{2n}}{(2n)!} 

Тогда:

 1 - \cos 2x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 2^{2n} x^{2n}}{(2n)!} 

Теперь подставим это в исходную функцию:

 \frac{1 - \cos 2x}{x} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 2^{2n} x^{2n - 1}}{(2n)!} 

Шаг 3: Интегрирование почленного ряда

Интеграл:

 \int_0^{0.5} \frac{1 - \cos 2x}{x} \, dx = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 2^{2n}}{(2n)!} \int_0^{0.5} x^{2n - 1} \, dx 

Вычислим интеграл:

 \int_0^{0.5} x^{2n - 1} dx = \left. \frac{x^{2n}}{2n} \right|_0^{0.5} = \frac{(0.5)^{2n}}{2n} 

Итак, каждый член ряда:

 a_n = \frac{(-1)^{n+1} 2^{2n} (0.5)^{2n}}{(2n)! \cdot 2n} = \frac{(-1)^{n+1}}{(2n)! \cdot 2n} 

Потому что:

 2^{2n} \cdot (0.5)^{2n} = 1 

Шаг 4: Оценка количества слагаемых

Теперь мы имеем:

 \int_0^{0.5} \frac{1 - \cos 2x}{x} \, dx = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{(2n)! \cdot 2n} 

Это знакочередующийся ряд, и мы можем использовать признак Лейбница: если члены убывают по модулю и стремятся к нулю, то остаток ряда по модулю не больше следующего члена.

Найдем наименьшее n, при котором:

 \left| \frac{1}{(2n)! \cdot 2n} \right| < 0.001 

Проверим по таблице:

• n = 1: \frac{1}{2! \cdot 2} = \frac{1}{4} = 0.25
• n = 2: \frac{1}{4! \cdot 4} = \frac{1}{24 \cdot 4} = \frac{1}{96} \approx 0.0104
• n = 3: \frac{1}{6! \cdot 6} = \frac{1}{720 \cdot 6} = \frac{1}{4320} \approx 0.000231

На n = 3 остаток меньше 0.001, значит, достаточно взять первые три слагаемых ряда.

Шаг 5: Вычисление суммы первых 3 членов

 S_3 = \sum_{n=1}^{3} \frac{(-1)^{n+1}}{(2n)! \cdot 2n} 

Посчитаем:

• n = 1: \frac{1}{2! \cdot 2} = \frac{1}{4} = 0.25
• n = 2: \frac{-1}{4! \cdot 4} = \frac{-1}{96} \approx -0.01042
• n = 3: \frac{1}{6! \cdot 6} = \frac{1}{4320} \approx 0.000231

Сумма:

 S_3 \approx 0.25 - 0.01042 + 0.000231 = 0.2398 

✅ Ответ:

• Приближённое значение интеграла: 0.240 (с точностью до 0.001)
• Наименьшее количество слагаемых: 3