Вычислите интеграл от ломаной

Мы имеем дело с криволинейным интегралом по ломаной \( L = ABC \). Ломаная состоит из трех участков: от точки \( A(0, 0) \) до точки \( B(2, 2) \), и от точки \( B(2, 2) \) до точки \( C(0, 1) \). Нам нужно вычислить интеграл: \[ \int_L (x - y)^2 dx + (x + y)^2 dy \]

Общая стратегия

Будем вычислять интеграл по каждому отрезку ломаной отдельно:

1. Отрезок \( AB \).
2. Отрезок \( BC \).

1. Интегрирование по отрезку \( AB \)

На отрезке \( AB \) мы можем задать уравнение линии как: \[ y = x, \quad x \in [0, 2] \]

Тогда производная \( \frac{dy}{dx} = 1 \), и \( dy = dx \). Мы подставляем:

\[ (x - y)^2 = (x - x)^2 = 0 \] и \[ (x + y)^2 = (x + x)^2 = (2x)^2 = 4x^2. \]

Теперь подставляем все в интеграл:

\[ \int_0^2 (x - y)^2 dx + (x + y)^2 dy = \int_0^2 0 \, dx + \int_0^2 4x^2 \, dx \]

Первый интеграл очевидно равен нулю, теперь решаем второй:

\[ \int_0^2 4x^2 \, dx = 4 \int_0^2 x^2 \, dx = 4 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = 4 \cdot \frac{8}{3} = \frac{32}{3}. \]

Ответ для отрезка \( AB \): \( \frac{32}{3} \).

2. Интегрирование по отрезку \( BC \)

На отрезке \( BC \) уравнение прямой можно задать как \( y = 3 - x \), при \( x \in [2, 0] \), так как эта прямая соединяет точки \( B(2, 2) \) и \( C(0, 1) \).

На этом отрезке: \[ dx = -1 \cdot dy, \quad x = 2 - y \]

Подставляем в выражения:

\[ (x - y)^2 = \left((2 - y) - y \right)^2 = (2 - 2y)^2 = 4(1 - y)^2 \] и \[ (x + y)^2 = \left((2 - y) + y\right)^2 = 4. \]

Теперь записываем интеграл:

\[ \int_2^0 4(1 - y)^2 \, d(-y) + 4 \, dy = \int_2^0 -4(1-y)^2 dy + \int_2^0 4 \, dy \]

1. Интегрируем первый кусок:

   \[ \int_2^0 -4(1 - y)^2 \, dy = -4 \left[ \frac{(1 - y)^3}{3} \right]_2^0 = -\frac{4}{3} \left((1 - 0)^3 - (1-2)^3 \right) = -\frac{4}{3} [1 + 1] = -\frac{8}{3}. \]

2. Интеграл:

   \[ \int_2^0 4 \, dy = -4(0 - 2) = 8. \]

Ответ для отрезка \( BC \): \( -\frac{8}{3} + 8 = \frac{16}{3} \).

3. Общий результат

Теперь складываем результаты интегралов для двух отрезков:

\[ \frac{32}{3} + \frac{16}{3} = \frac{48}{3} = 16. \]