Вычислите двойной интеграл (y-x) по области D: y^2=x, 5y=x

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — кратные интегралы (двойной интеграл)

Найдем двойной интеграл функции f(x, y) = y - x по области D, ограниченной кривыми:

• y^2 = x — парабола, ветви вправо
• 5y = x — прямая

Шаг 1: Определим область интегрирования

Перепишем уравнения:

• x = y^2
• x = 5y

Найдем точки пересечения этих кривых:

 y^2 = 5y \Rightarrow y^2 - 5y = 0 \Rightarrow y(y - 5) = 0 

Значит, y = 0 и y = 5 — границы по y.

Теперь определим границы по x. Для каждого y \in [0, 5]:

• Левая граница: x = y^2
• Правая граница: x = 5y

Шаг 2: Запишем двойной интеграл

Интегрируем по x от y^2 до 5y, а y от 0 до 5:

 \iint_D (y - x) \, dx\,dy = \int_{y=0}^{5} \int_{x=y^2}^{5y} (y - x) \, dx\,dy 

Шаг 3: Вычислим внутренний интеграл

Внутренний интеграл:

 \int_{x=y^2}^{5y} (y - x)\, dx 

Поскольку y — константа по отношению к x, интегрируем:

 = \int_{x=y^2}^{5y} y\, dx - \int_{x=y^2}^{5y} x\, dx 

 = y(5y - y^2) - \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{x=y^2}^{5y} 

Вычислим:

 y(5y - y^2) = 5y^2 - y^3 

 \frac{1}{2}(5y)^2 - \frac{1}{2}(y^2)^2 = \frac{25}{2}y^2 - \frac{1}{2}y^4 

Теперь весь внутренний интеграл:

 (5y^2 - y^3) - \left( \frac{25}{2}y^2 - \frac{1}{2}y^4 \right) = 5y^2 - y^3 - \frac{25}{2}y^2 + \frac{1}{2}y^4 

Соберем подобные:

 = \left(5y^2 - \frac{25}{2}y^2\right) + \left(-y^3\right) + \left(\frac{1}{2}y^4\right) = -\frac{15}{2}y^2 - y^3 + \frac{1}{2}y^4 

Шаг 4: Вычислим внешний интеграл

 \int_{0}^{5} \left( -\frac{15}{2}y^2 - y^3 + \frac{1}{2}y^4 \right)\, dy 

Интегрируем по частям:

 = -\frac{15}{2} \int_0^5 y^2\,dy - \int_0^5 y^3\,dy + \frac{1}{2} \int_0^5 y^4\,dy 

Вычислим каждый интеграл:

• \int_0^5 y^2\,dy = \left[\frac{1}{3}y^3\right]_0^5 = \frac{125}{3}
• \int_0^5 y^3\,dy = \left[\frac{1}{4}y^4\right]_0^5 = \frac{625}{4}
• \int_0^5 y^4\,dy = \left[\frac{1}{5}y^5\right]_0^5 = \frac{3125}{5} = 625

Теперь подставим:

 = -\frac{15}{2} \cdot \frac{125}{3} - \frac{625}{4} + \frac{1}{2} \cdot 625 

Посчитаем:

• -\frac{15}{2} \cdot \frac{125}{3} = -\frac{1875}{6}
• -\frac{625}{4}
• \frac{625}{2}

Приведем к общему знаменателю (наименьшее общее кратное 12):

• -\frac{1875}{6} = -\frac{3750}{12}
• -\frac{625}{4} = -\frac{1875}{12}
• \frac{625}{2} = \frac{3750}{12}

Теперь сложим:

 \left(-\frac{3750}{12} - \frac{1875}{12} + \frac{3750}{12}\right) = -\frac{1875}{12} 

Ответ:

 \boxed{-\frac{1875}{12}}