Вычислите двойной интеграл по области. Сделайте чертеж области

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ, интеграция функций многих переменных

Задание:

Посчитаем двойной интеграл:

\[ \iint_D \frac{x}{y} \,dx\,dy, \]

где область \(D\) определяется следующим образом:

\[ D = \{ (x, y) \ | \ 0 \leq x \leq 2, \ 1 \leq y \leq e \}. \]

Шаг 1. Чтение границ области:

Давайте проверим, какие границы заданы:

• По \(x\) интегрирование ведется от \(0\) до \(2\).
• По \(y\) интегрирование идет от \(1\) до \(e\).

Шаг 2. Чертеж области \(D\):

Область \(D\) представляет собой прямоугольник на координатной плоскости \(xy\):

• Левая граница: \(x = 0\).
• Правая граница: \(x = 2\).
• Нижняя граница: \(y = 1\).
• Верхняя граница: \(y = e\).

Чертеж:

y ↑
e ────────────────────────────
  │
  │
  │
1 ────────────────────────────► x
  0                           2

Шаг 3. Запись двойного интеграла:

\[ \iint_D \frac{x}{y} \,dx\,dy = \int_{y=1}^{y=e} \int_{x=0}^{x=2} \frac{x}{y} \,dx\,dy. \]

Шаг 4. Вычисление внутреннего интеграла (\(dx\)):

Внутренний интеграл:

\[ \int_{x=0}^{x=2} \frac{x}{y} \,dx. \]

Здесь \(y\) считается константой. Вынесем \(\frac{1}{y}\) за знак интеграла:

\[ \int_{x=0}^{x=2} \frac{x}{y} \,dx = \frac{1}{y} \int_{x=0}^{x=2} x \,dx. \]

Теперь вычисляем \(\int x \,dx\):

\[ \int x \,dx = \frac{x^2}{2}. \]

Подставляем пределы \(0\) и \(2\):

\[ \frac{1}{y} \left[\frac{x^2}{2} \right]_{x=0}^{x=2} = \frac{1}{y} \left(\frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2}\right) = \frac{1}{y} \cdot \frac{4}{2} = \frac{2}{y}. \]

Шаг 5. Вычисление внешнего интеграла (\(dy\)):

Теперь внешний интеграл:

\[ \int_{y=1}^{y=e} \frac{2}{y} \,dy. \]

Вынесем константу \(2\) за знак интеграла:

\[ 2 \int_{y=1}^{y=e} \frac{1}{y} \,dy. \]

Интеграл \(\int \frac{1}{y} \,dy\) равен натуральному логарифму:

\[ \int_{y=1}^{y=e} \frac{1}{y} \,dy = \ln y \Big|_{y=1}^{y=e}. \]

Вычисляем:

\[ \ln y \Big|_{y=1}^{y=e} = \ln e - \ln 1. \]

Поскольку \(\ln e = 1\) и \(\ln 1 = 0\), получаем:

\[ \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1. \]

Теперь домножаем результат на \(2\):

\[ 2 \cdot 1 = 2. \]

Ответ:

\[ \boxed{2}. \]

Значение двойного интеграла равно: