Вычислить значение определённого интеграла

Это задание по математике, конкретнее — раздел "Интегралы".

Нам нужно вычислить определенный интеграл \(\int_{-1}^{2} (3x - 1)^3 \, dx\). Рассмотрим шаги решения.

1. Раскроем выражение \((3x - 1)^3\) с помощью бинома Ньютона: \[ (3x - 1)^3 = \left(3x\right)^3 + 3\cdot \left(3x\right)^2 \cdot (-1) + 3\cdot 3x \cdot (-1)^2 + (-1)^3 \]

   Считаем:

   \[ = 27x^3 - 27x^2 + 9x - 1 \]
2. Теперь интегрируем каждый член полинома по отдельности: \[ \int_{-1}^{2} (27x^3 - 27x^2 + 9x - 1) \, dx \]

   Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

   \[ = \int_{-1}^{2} 27x^3 \, dx - \int_{-1}^{2} 27x^2 \, dx + \int_{-1}^{2} 9x \, dx - \int_{-1}^{2} 1 \, dx \]

   Каждое из этих интегралов легко интегрировать.

3. Вычисляем интегралы по отдельности: \[ \int_{-1}^{2} 27x^3 \, dx = 27 \int_{-1}^{2} x^3 \, dx = 27 \left[\frac{x^4}{4}\right]_{-1}^{2} \] \[ = 27 \left(\frac{2^4}{4} - \frac{(-1)^4}{4}\right) = 27 \left(4 - \frac{1}{4}\right) = 27 \cdot \frac{15}{4} = \frac{405}{4} \] \[ \int_{-1}^{2} 27x^2 \, dx = 27 \int_{-1}^{2} x^2 \, dx = 27 \left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} \] \[ = 27 \left(\frac{2^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3}\right) = 27 \left(\frac{8}{3} + \frac{1}{3}\right) = 27 \cdot \frac{9}{3} = 27 \cdot 3 = 81 \] \[ \int_{-1}^{2} 9x \, dx = 9 \int_{-1}^{2} x \, dx = 9 \left[\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{2} \] \[ = 9 \left(\frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right) = 9 \left(2 - \frac{1}{2}\right) = 9 \cdot \frac{3}{2} = \frac{27}{2} \] \[ \int_{-1}^{2} 1 \, dx = \left[x\right]_{-1}^{2} = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3 \]
4. Теперь складываем полученные результаты: \[ \frac{405}{4} - 81 + \frac{27}{2} - 3 \]

   Приведем все к общему знаменателю (4):

   \[ = \frac{405}{4} - \frac{324}{4} + \frac{54}{4} - \frac{12}{4} \] \[ = \frac{405 - 324 + 54 - 12}{4} = \frac{123}{4} = 30.75 \]

   Таким образом, значение определенного интеграла равно \(30.75\).