Вычислить заданный интеграл по параболе

Предмет: Математика Раздел: Интегральное исчисление, определённые интегралы.

Дано выражение для вычисления определенного интеграла: \[ \int_A^B (x + y) dx, \] где кривая задается параболой \(y = x^2\), а точки A и B соответствуют значениям \(x = 1\) и \(x = 2\).

План решения:

1. Подставим выражение для \(y\) через \(x\) (то есть \(y = x^2\)) в интеграл.
2. Найдём пределы интегрирования \( A = 1 \) и \( B = 2 \).
3. Вычислим интеграл.

Шаг 1. Подстановка уравнения параболы в интеграл

Так как \(y = x^2\), заменим \(y\) в интеграле:

\[ \int_1^2 (x + x^2) dx. \]

Шаг 2. Запишем получившийся интеграл

Теперь нам нужно вычислить интеграл:

\[ \int_1^2 (x + x^2) dx. \]

Шаг 3. Разделим интеграл на суммы

Поскольку интеграл суммы равен сумме интегралов, можем разделить интеграл на два:

\[ \int_1^2 x \, dx + \int_1^2 x^2 \, dx. \]

Шаг 4. Вычисление каждого из интегралов

1. Первый интеграл:

\[ \int_1^2 x \, dx = \frac{x^2}{2} \Bigg|_1^2 = \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = 2 - 0.5 = 1.5. \]

2. Второй интеграл:

\[ \int_1^2 x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \Bigg|_1^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}. \]

Шаг 5. Сложение результатов интегралов

Теперь сложим оба результата:

\[ \int_1^2 (x + x^2) dx = 1.5 + \frac{7}{3} = \frac{9}{6} + \frac{14}{6} = \frac{23}{6}. \]

Ответ:

Значение интеграла равно:

\[ \boxed{\frac{23}{6}}. \]