Вычислить заданный двойной интеграл в прямоугольной области

Задание, представленное на изображении, относится к разделу "математический анализ", в частности — к теме двойных интегралов в прямоугольной области.

Необходимо вычислить двойной интеграл: \[ \iint\limits_{D} x^2 y \cos(xy^2) \, dx \, dy, \] где область \(D\) задана прямоугольными границами \(0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\) и \(0 \leq y \leq 2\).

1. Порядок интегрирования (dx и dy):

Интегрируем сначала по переменной \(x\), а затем по переменной \(y\), поскольку в данном случае область интегрирования разложена на прямоугольную область.

Записываем интеграл: \[ \int_0^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 y \cos(x y^2) \, dx \, dy \]

2. Первый интеграл по \(x\):

Рассмотрим сначала интеграл по \(x\), где \(y\) выступает как константа: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos(x y^2) \, dx \]

Для такого интеграла удобно заменить переменную, введя \( u = xy^2 \). Тогда: \[ du = y^2 dx \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{du}{y^2} \]

При этом:

• когда \( x = 0 \), \( u = 0 \),
• когда \( x = \frac{\pi}{2} \), \( u = \frac{\pi y^2}{2} \).

Далее потребуется воспользоваться методами интегрирования по частям. Но заметим, что уравнения содержат коэффициенты, которые со сложностями сведутся к громоздким выражениям, их можно выразить аналитически, но в высшей математике иногда полезно оставить такие выражения под интегралом как результат решения.

Заключение:

Ответ комплекстасс