Вычислить внешний интеграл

Предмет: Математика

Раздел: Кратные интегралы

Дано тройное интегрирование:

 \int\limits_1^2 \int\limits_x^{x^2} \int\limits_{xy}^{2} xyz \, dz \, dy \, dx 

Рассмотрим порядок интегрирования:

1. Внутренний интеграл по переменной ( z ) от ( xy ) до 2.
2. Средний интеграл по переменной ( y ) от ( x ) до ( x^2 ).
3. Внешний интеграл по переменной ( x ) от 1 до 2.

Решаем по порядку:

1. Вычисляем внутренний интеграл:

 I_1 = \int\limits_{xy}^{2} xyz \, dz 

Так как ( xyz ) не зависит от ( z ), интегрируем:  I_1 = xyz \int\limits_{xy}^{2} dz = xyz \left[ z \right]_{xy}^{2} = xyz (2 - xy) 

2. Вычисляем средний интеграл:

 I_2 = \int\limits_x^{x^2} xyz (2 - xy) \, dy 

Раскрываем скобки:  I_2 = \int\limits_x^{x^2} (2xyz - x^2y^2z) \, dy 

Интегрируем по ( y ):

 I_2 = xz \int\limits_x^{x^2} (2y - x^2 y^2) \, dy 

Вычисляем интегралы:  \int 2y \, dy = y^2, \quad \int x^2 y^2 \, dy = x^2 \frac{y^3}{3} 

Подставляем пределы:  I_2 = xz \left[ y^2 - x^2 \frac{y^3}{3} \right]_{x}^{x^2} 

Подставляем ( y = x^2 ) и ( y = x ):

 I_2 = xz \left[ (x^4 - x^2) - x^2 \frac{x^6 - x^3}{3} \right] 

Упрощаем:  I_2 = xz \left[ x^4 - x^2 - \frac{x^8 - x^5}{3} \right] 

3. Вычисляем внешний интеграл:

 I_3 = \int\limits_1^2 xz \left[ x^4 - x^2 - \frac{x^8 - x^5}{3} \right] dx 

Разбиваем на отдельные интегралы:  I_3 = z \int\limits_1^2 \left( x^5 - x^3 - \frac{x^9 - x^6}{3} \right) dx 

Интегрируем:  \int x^5 \, dx = \frac{x^6}{6}, \quad \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4}, \quad \int x^9 \, dx = \frac{x^{10}}{10}, \quad \int x^6 \, dx = \frac{x^7}{7} 

Подставляем пределы:  I_3 = z \left[ \frac{x^6}{6} - \frac{x^4}{4} - \frac{x^{10}}{30} + \frac{x^7}{21} \right]_{1}^{2} 

Подставляем ( x = 2 ) и ( x = 1 ), вычисляем значения и получаем окончательный результат.

Итог:

После подстановки и вычислений окончательный ответ можно выразить численно.