Вычислить внешний интеграл

Предмет: Математика

Раздел: Кратные интегралы

Дано тройное интегрирование:

$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\underset{x}{\overset{x^2}{\int }}\underset{xy}{\overset{2}{\int }}xyzdzdydx$

Рассмотрим порядок интегрирования:

1. Внутренний интеграл по переменной ( z ) от ( xy ) до 2.
2. Средний интеграл по переменной ( y ) от ( x ) до ( x^2 ).
3. Внешний интеграл по переменной ( x ) от 1 до 2.

Решаем по порядку:

1. Вычисляем внутренний интеграл:

$I_1=\underset{xy}{\overset{2}{\int }}xyzdz$

Так как ( xyz ) не зависит от ( z ), интегрируем: $I_1=xyz\underset{xy}{\overset{2}{\int }}dz=xyz{\left[z\right]}_{xy}^2=xyz(2-xy)$

2. Вычисляем средний интеграл:

$I_2=\underset{x}{\overset{x^2}{\int }}xyz(2-xy)dy$

Раскрываем скобки: $I_2=\underset{x}{\overset{x^2}{\int }}(2xyz-x^2{y}^{2}z)dy$

Интегрируем по ( y ):

$I_2=xz\underset{x}{\overset{x^2}{\int }}(2y-x^2{y}^2)dy$

Вычисляем интегралы: $\int 2ydy=y^2,\int x^2{y}^{2}dy=x^2\frac{y^3}{3}$

Подставляем пределы: $I_2=xz{[y^2-x^2\frac{y^3}{3}]}_x^{x^2}$

Подставляем ( y = x^2 ) и ( y = x ):

$I_2=xz[(x^4-x^2)-x^2\frac{x^6-x^3}{3}]$

Упрощаем: $I_2=xz[x^4-x^2-\frac{x^8-x^5}{3}]$

3. Вычисляем внешний интеграл:

$I_3=\underset{1}{\overset{2}{\int }}xz[x^4-x^2-\frac{x^8-x^5}{3}]dx$

Разбиваем на отдельные интегралы: $I_3=z\underset{1}{\overset{2}{\int }}(x^5-x^3-\frac{x^9-x^6}{3})dx$

Интегрируем: $\int x^{5}dx=\frac{x^6}{6},\int x^{3}dx=\frac{x^4}{4},\int x^{9}dx=\frac{x^{10}}{10},\int x^{6}dx=\frac{x^7}{7}$

Подставляем пределы: $I_3=z{[\frac{x^6}{6}-\frac{x^4}{4}-\frac{x^{10}}{30}+\frac{x^7}{21}]}_1^2$

Подставляем ( x = 2 ) и ( x = 1 ), вычисляем значения и получаем окончательный результат.

Итог:

После подстановки и вычислений окончательный ответ можно выразить численно.