Вычислить указанный неопределенный интеграл

Условие:

Вычислить указанные неопределенные интегралы.

Решение:

Для решения данного интеграла \(\int \frac{\ln x}{x^2} \, dx\) можно использовать интегрирование по частям. Интегрирование по частям использует формулу \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\), где \(u\) и \(dv\) выбираются из подынтегрального выражения. В данном случае выгодно выбрать: \(u = \ln x\) (потому что производная логарифма проста), тогда \(du = \frac{1}{x} \, dx\). \(dv = \frac{1}{x^2} \, dx = x^{-2} \, dx\), тогда \(v\) будет интегралом от \(dv\), то есть \(v = \int x^{-2} \, dx = -x^{-1} = -\frac{1}{x}\). Теперь применяем формулу интегрирования по частям: \[ \int \frac{\ln x}{x^2} \, dx = uv - \int v \, du \] \[ = (-\ln x \cdot \frac{1}{x}) - \int \left(-\frac{1}{x}\right) (\frac{1}{x} \, dx) \] \[ = (-\frac{\ln x}{x}) - \int \left(-x^{-2}\right) \, dx \] \[ = -\frac{\ln x}{x} - \left(- \int x^{-2} \, dx\right) \] \[ = -\frac{\ln x}{x} + \int x^{-2} \, dx \] Теперь интегрируем \(x^{-2}\), что дает нам \(+x^{-1}\), но с минусом внутри интеграла, это будет: \[ = -\frac{\ln x}{x} + \left(\frac{1}{x}\right) + C \] где \(C\) - константа интегрирования. Окончательно, ответ будет: \[ \int \frac{\ln x}{x^2} \, dx = -\frac{\ln x}{x} + \frac{1}{x} + C \]