Вычислить указанные неопределенные интегралы.

Для решения данного интеграла $\text{(}\int \frac{e^{\arctan (x)}}{x^2+1}dx\text{)}$, воспользуемся подстановкой, связанной с функцией арктангенса: Пусть $\text{(}u=\arctan (x)\text{)}$, тогда $\text{(}x=\tan (u)\text{)}$ и $\text{(}dx={\sec }^2(u)du\text{)}$. Также обратите внимание, что $\text{(}{\sec }^2(u)=1+{\tan }^2(u)\text{)}$, и это приводит нас к тому, что $\text{(}{x}^2+1={\tan }^2(u)+1={\sec }^2(u)\text{)}$. Теперь подставляем выражения для $\text{(}x\text{)}$ и $\text{(}dx\text{)}$ через $\text{(}u\text{)}$ в исходный интеграл: $\text{[}\int \frac{e^{\arctan (x)}}{x^2+1}dx=\int \frac{e^u}{{\sec }^2(u)}{\sec }^2(u)du=\int e^{u}du\text{]}$ Теперь мы видим, что интеграл упрощается до $\text{(}\int e^{u}du\text{)}$, который является основным интегралом. Решение: $\text{[}\int e^{u}du=e^u+C\text{]}$ Обратная замена $\text{(}u=\arctan (x)\text{)}$ дает нам ответ в исходных переменных: $\text{[}\int \frac{e^{\arctan (x)}}{x^2+1}dx=e^{\arctan (x)}+C\text{]}$ где $\text{(}C\text{)}$ — константа интегрирования.