Вычислить указанные неопределенные интегралы.

Условие:

Вычислить указанные неопределенные интегралы.

Решение:

Для решения данного интеграла \( \int \frac{e^{\arctan(x)}}{x^2 + 1} dx \), воспользуемся подстановкой, связанной с функцией арктангенса: Пусть \( u = \arctan(x) \), тогда \( x = \tan(u) \) и \( dx = \sec^2(u) du \). Также обратите внимание, что \( \sec^2(u) = 1 + \tan^2(u) \), и это приводит нас к тому, что \( x^2 + 1 = \tan^2(u) + 1 = \sec^2(u) \). Теперь подставляем выражения для \( x \) и \( dx \) через \( u \) в исходный интеграл: \[ \int \frac{e^{\arctan(x)}}{x^2 + 1} dx = \int \frac{e^u}{\sec^2(u)} \sec^2(u) du = \int e^u du \] Теперь мы видим, что интеграл упрощается до \( \int e^u du \), который является основным интегралом. Решение: \[ \int e^u du = e^u + C \] Обратная замена \( u = \arctan(x) \) дает нам ответ в исходных переменных: \[ \int \frac{e^{\arctan(x)}}{x^2 + 1} dx = e^{\arctan(x)} + C \] где \( C \) — константа интегрирования.