Вычислить тройной интеграл по области V

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Кратные интегралы (тройной интеграл)

Задание 4:
Вычислить тройной интеграл по области V:

 \iiint\limits_V y^2 e^{-xy} \, dx\,dy\,dz 

где область интегрирования задана условиями:

 V: \begin{cases} x = 0 \text{ до } x = \frac{y}{4} \ y = -2 \text{ до } y = 2 \ z = 0 \text{ до } z = 1 \end{cases} 

Шаг 1: Определим порядок интегрирования

Так как границы по переменной ( x ) зависят от ( y ), а границы по ( y ) и ( z ) — постоянные, выберем порядок интегрирования: dx dy dz

Шаг 2: Запишем интеграл

 \int\limits_{z=0}^{1} \int\limits_{y=-2}^{2} \int\limits_{x=0}^{y/4} y^2 e^{-xy} \, dx\,dy\,dz 

Шаг 3: Интегрирование по ( x )

Внутренний интеграл:

 \int\limits_{x=0}^{y/4} y^2 e^{-xy} \, dx 

Так как ( y^2 ) — константа по ( x ), выносим её за знак интеграла:

 y^2 \int\limits_{x=0}^{y/4} e^{-xy} \, dx 

Выполним замену переменной:

Пусть ( u = xy \Rightarrow du = y \, dx \Rightarrow dx = \frac{du}{y} )

Когда ( x = 0 \Rightarrow u = 0 ),
Когда ( x = \frac{y}{4} \Rightarrow u = \frac{y^2}{4} )

Тогда интеграл:

 y^2 \int\limits_{u=0}^{y^2/4} e^{-u} \cdot \frac{1}{y} \, du = y \int\limits_{0}^{y^2/4} e^{-u} \, du 

Интеграл от экспоненты:

 y \left[ -e^{-u} \right]_{0}^{y^2/4} = y \left( -e^{-y^2/4} + 1 \right) = y \left(1 - e^{-y^2/4} \right) 

Шаг 4: Подставим результат обратно

Теперь интеграл принимает вид:

 \int\limits_{z=0}^{1} \int\limits_{y=-2}^{2} y \left(1 - e^{-y^2/4} \right) \, dy\,dz 

Шаг 5: Интегрирование по ( y )

Рассмотрим:

 \int\limits_{y=-2}^{2} y \left(1 - e^{-y^2/4} \right) \, dy 

Это нечётная функция по ( y ), так как:

• ( y ) — нечётная
• ( e^{-y^2/4} ) — чётная
• ( y (1 - e^{-y^2/4}) ) — нечётная

А интеграл нечётной функции на симметричном промежутке [−a, a] равен 0:

 \int\limits_{-2}^{2} y \left(1 - e^{-y^2/4} \right) \, dy = 0 

Шаг 6: Интегрирование по ( z )

Остаётся:

 \int\limits_{z=0}^{1} 0 \, dz = 0 

Ответ:

 \boxed{0}